対称音階：どの音からでも全音と半音–全音の集合を作る

--- title: "対称音階：どの音からでも全音と半音–全音の集合を作る" slug: symmetric-scales-whole-tone-half-whole description: "単一の音程パターンを繰り返し、全音とオクタトニック（半音–全音）の集合を構築します。移調しても全音集合が2つ、オクタトニック集合が3つだけの理由を学び、所属音を確認し、増三和音と減七の和音を生む仕組みを探ります。音程ループ構築と所属確認の無料ワークシート付き。" category: Music Theory ---

音階を「対称」にするものは？

長音階、自然短音階、旋法など、半音と全音の特定パターンの音階は知っているでしょう。長音階のW-W-H-W-W-W-Hのように固有の不均等な並びがあり、その不均等さが方向、帰る場所と遠ざかる場所、緊張と解決の感覚を与えます。

対称音階は違います。同じ音程、または短いパターンを中断せず繰り返し、出発点へ戻ります。およそ1880年以降の音楽に頻出し、基礎から理解したい2集合は、全音集合（6音、すべて全音）と、オクタトニック集合（8音、半音と全音が交互）です。

どちらも珍しさだけの異国趣味ではありません。内部論理が明確で、どの開始音からも作りやすく、20世紀和声の多くを支えるピッチクラスの考えに直結します。両集合を一から作り、全音が2集合、オクタトニックが3集合だけの理由と特定の和音型を生む方法を説明します。練習資料は、音程を繰り返し、ループを探すと、新しい音は属する？です。

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全音集合

規則は1つで、各段階が全音、つまり半音2つ分です。

Cから半音2つを6回加えます。

C → D → E → F♯ → G♯ → B♭ → (C)

6段階目で1オクターブ上のCへ戻ります。完全なピッチクラス集合は、{0, 2, 4, 6, 8, 10}という整数表記です（C＝0、C♯/D♭＝1、順にB＝11）。

Cからの全音集合。各段階は正確に半音2つで、全音6段階が1オクターブ上のCへ戻します。

バッジを数えると半音2つが6段階、合計12、1オクターブです。12は偶然でなく、繰り返す音程が「閉じる」、開始ピッチクラスへ戻るには合計12が必要です。少なければ途中で止まり、多ければ越えます。

式ならどの音からも作れます。F♯開始はF♯-G♯-B♭-C-D-E-F♯で同じ6クラス{0,2,4,6,8,10}。G♯開始もG♯-B♭-C-D-E-F♯-G♯で同じです。偶数番号の開始音はすべてこの集合に戻ります。

式が役立つ理由

ピッチクラス集合はオクターブを問わない音高クラスの集まりです。C開始の全音集合の曲なら、C、D、E、F♯、G♯、B♭と、G♯に対するA♭などの異名同音が属すとすぐ言えます。他のD♭、E♭、F、G、A、Bは属しません。

全音集合1（0,2,4,6,8,10）だけの独自旋律。全音を確認：C=0 ✓ E=4 ✓ F♯=6 ✓ B♭=10 ✓ G♯=8 ✓ D=2 ✓。

2小節は全音集合の音だけです。浮遊的、曖昧に感じるのは、均一な段階に耳の目印となる非対称性がないためです。

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2つの全音集合

立ち止まって考えたい事実は、12音の半音階体系に異なる全音集合は2つだけということです。

意外に少ない数です。長音階も自然短音階も12音から始められますが、C開始とD開始の全音集合は順番が違う同じ6クラスです。半音2つ、全音1つの移調で同じ集合に戻ります。

これを、移調対称性と呼びます。ピッチクラス集合論（Straus、Introduction to Post-Tonal Theory第4版参照）では、一方が他方をある音程nで移調したものなら、移調同値です。全音集合は、移調対称で、T₂（半音2つの移調）が自身へ写します。各要素は2ずれても集合全体は同じです。

全音集合1をT₂で半音2つ上げると、並べ替えた同じ6クラスに戻ります。集合はT₂で不変です。

集合1を半音2つ上げても同じ6クラス、もう2つ上げても同じです。変わるのは、奇数個の半音だけ移したときです。

半音1つ（奇数）の移調は、各クラスをもう一方の全音集合へ移します。

T₁はD♭、E♭、F、G、A、B、つまり{1,3,5,7,9,11}という他方へ着地します。そして、その集合のT₁は集合1へ戻ります。2集合は半音階を偶数と奇数のピッチクラスに分割します。

全音集合は2つだけ。集合1は偶数6つ{0,2,4,6,8,10}、集合2は奇数6つ{1,3,5,7,9,11}です。

したがって全移調は正確にこの2集合のどちらかで、第3は作れません。Tymoczko（A Geometry of Music第4章）はこの性質を論じ、自身へ戻す最小移調を、周期と呼べます。全音集合の周期は2です。

12クラスを円環に配置。シアン＝全音集合1（偶数）、コーラル＝集合2（奇数）。

円では12位置が集合1（シアン）と2（コーラル）に交互に分かれます。時計の偶数位置は1、奇数位置は2です。

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オクタトニック集合

2種類の音程、半音1つ、次に全音（半音2つ）を閉じるまで反復します。「半音–全音」の順序で、逆の全音–半音も可能で、異なる開始点から同じ集合を作ります。

Cから半音–全音で始めます。

C → D♭ → E♭ → E → F♯ → G → A → B♭ → (C)

異なる8クラスは、{0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10}です。段階は1-2-1-2-1-2-1-2。（1+2）の4組＝半音3つの4組＝合計12。✓

C開始のオクタトニック（半音–全音）。半音1つ、2つを4回交替し、8音、合計4×3＝12です。

コーラルのバッジは半音+1、シアンは全音+2。6でなく8音で密度が高く、半音階の半分でなく3分の2を覆います。

オクタトニック集合Aの独自旋律。すべて{0,1,3,4,6,7,9,10}に属します。

音階順でなくクラスを移動します。8候補すべてが使える中を自由に飛べ、全音集合よりフレーズごとの音高の選択肢が広いことに注目します。

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異なる3つのオクタトニック集合

周期は2でなく、3です。T₃で同じ集合に戻るので、12開始音から異なる12集合でなく12÷4＝3集合になります（各集合がT₀、T₃、T₆、T₉の4回現れるため）。

異なる3つのオクタトニック（半音–全音）集合。各開始音はこの3つのちょうど1つに属します。

• 集合A（Cから）：{0,1,3,4,6,7,9,10}
• 集合B（D♭から）：{1,2,4,5,7,8,10,11}
• 集合C（Dから）：{0,2,3,5,6,8,9,11}

3集合で12クラスすべてを覆い、各クラスは正確に2集合に現れます。各8要素なので3×8＝24＝2×12です。

Open Music Theory v2（Gothamほか）はオクタトニックのピッチクラス集合が正確に3つと述べます。周期3の対称性と、集合ごと12÷gcd(12,3)＝12÷3＝4回の反復から導けます。

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2集合型を比べる

段階式が構造のすべてを決め、音数と異なる集合数が直ちに導けます。

段階比較。全音は半音2つが6回（合計12）、オクタトニックは1+2が4組（合計12）。両方1オクターブで閉じます。

全音は12÷2＝6音。周期2なので12開始音は12÷6＝2集合です。

オクタトニックは4×(1+2)＝12なので8音。周期3なので12開始音は12÷4＝3集合です。

全音とオクタトニックの早見表。

「反復する移調」の行は全音T₂、オクタトニックT₃です。全音は偶数半音で同集合、奇数で他方。オクタトニックは3の倍数で同集合、1や2（3で割れない数）で他の2集合の一方です。

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どの集合も作れる手順

両方同じ構築アルゴリズムです。

対称集合を一から作る3段階。合計確認は全音6×2＝12、オクタトニック4×(1+2)＝12。

手順1—開始音を選ぶ。0–11の任意のクラス。オクタトニックは開始音が集合を決め、C、E♭、F♯、A開始はすべてAです。

手順2—順に音程を加える。全音は2を反復、半音–全音は1、2を交互に加えます。現在のクラスを追い、11を越えたら0へ回ります。

手順3—戻ったら止める。次の段階が開始クラスへ戻すなら、集合は完成です。

この音程を繰り返し、ループを探すプリントは両型の算法を例示します。生徒の課題は、開始音を選びパターンを適用し完全な要素リストを作り、2つまたは3つのどの集合か答えることです。

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対称集合からの和音

有用な性質の1つが含まれる和音型です。

全音集合からの増三和音

増三和音は半音4つずつ等間隔の3音です。全音集合は偶数クラスだけを含み4も偶数なので、増三和音3音は常に同じ全音集合に入ります。

全音集合1の増三和音。6クラス中のC=0、E=4、G♯=8が半音4つの等間隔です。

C—E—G♯は0、4、8で全て集合1{0,2,4,6,8,10}です。全音集合にはC–E–G♯とD–F♯–B♭という異なる増三和音が正確に2つあり、合わせて集合1の全6クラスを占めます。

オクタトニックからの減七の和音

減七の和音は半音3つずつ等間隔の4音です。オクタトニックの周期3のT₃対称性により、減七の4音はT₃で不変、半音3つ移調すると自身へ写ります。

集合Aの減七の和音。4クラス(0,3,6,9)は半音3つの等間隔で、T₃は自身へ写します。

C—E♭—F♯—Aは0、3、6、9で集合A{0,1,3,4,6,7,9,10}内です。異なる減七の和音は3つ（各オクタトニック集合に1つ）あり、重複なく12クラス全体を覆うため、19世紀後半の和声で多用途の転調の要となりました。

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所属確認：その音は入る？

使う集合が分かれば候補音の所属を確認できます。算法は簡単です。

1. 集合を特定する。開始音と型が分かれば上表から調べるか、段階式で導きます。
2. 候補音のピッチクラスを求める。MIDI番号を12で割った余りです（C4＝60なので60 mod 12＝0＝C）。Cから半音を数えてもよいです。
3. 集合への所属を確認する。そのクラスが集合にあれば属し、なければ属しません。

全一覧：全音2集合（シアン）とオクタトニック3集合（コーラル）。各型の一覧に各クラスが1回ずつ現れます。

例：A♭はC開始の全音集合に属すか。A♭＝pc8、集合1は{0,2,4,6,8,10}。8は要素か。はい、異名同音G♯なので属します。D♭＝pc1は要素か。いいえ、集合1に属しません。

この新しい音は属する？練習は、欠けた要素の補充、候補のはい／いいえ、移調比較、オクタトニックの音庫での短い作曲の4種類へ展開します。

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ピッチクラス集合表記の入門

整数表記は精密な記述の標準手段です。慣例はAllen ForteのThe Structure of Atonal Music（Yale UP、1973）とJoseph StrausのIntroduction to Post-Tonal Theory（第4版、W. W. Norton、2016）が体系化したポスト調性理論に由来します。

• ピッチクラス0＝C（C2、C4、C7など任意のオクターブ）
• ピッチクラス1＝C♯/D♭
• ピッチクラス2＝D
• …以下ピッチクラス11＝Bまで

移調T_nは全クラスをn半音上げ、12で循環します。{0,2,4,6,8,10}へT₂を適用すると{2,4,6,8,10,0}、順序の違う同集合。T₁なら{1,3,5,7,9,11}という他方です。

この集合クラスのラベルは6-35（Forte番号の全音6音集合）と8-28（オクタトニック8音集合）です。演奏指示でなく参照識別子ですが、分析文献を調べる助けになります。

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実践する

2枚のワークシートで概念から紙上での習熟へ進みます。

音程を繰り返し、ループを探す（資料482）は両型の算法を例示し、任意の開始音から全要素リストを求めます。音声で特徴を聴けます。全音旋律は重力感なく漂い、オクタトニックは交互の半音から鋭い音程対比を持ちます。

全音集合1の独自旋律。各音のクラスが{0,2,4,6,8,10}に属すと確認済み。

新しい音は属する？（練習186）は4節です。

• 節A — 与えられた集合行の欠けた要素を埋める。
• 節B — はい／いいえ：候補音は指定集合に属すか。
• 節C — 移調確認：T₂やT₁は集合を保つか変えるか。
• 節D — C/D♭/E♭/E/F♯/G/A/B♭だけで短い旋律を作る。

両シートに完全な集合の音声例があり、筆記前に理論上の集合と音を結び付けられます。

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まとめ

両集合は厳密な数学的意味で対称で、規則的な移調に対し不変です。その1性質、周期が異なる集合数、含む和音、そこから作る音楽の響きを決めます。

全音集合：

• 段階2-2-2-2-2-2（全音6つ）
• Cからの要素：C D E F♯ G♯ B♭
• ピッチクラス：{0,2,4,6,8,10}
• 異なる集合は2つだけ（周期T₂）
• 特徴的な和音：増三和音

オクタトニック（半音–全音）集合：

• 段階1-2-1-2-1-2-1-2（交互）
• Cからの要素：C D♭ E♭ E F♯ G A B♭
• ピッチクラス：{0,1,3,4,6,7,9,10}
• 異なる集合は3つだけ（周期T₃）
• 特徴的な和音：減七の和音

開始音を選び、段階ループを適用し、戻ったら止めて一から作ることが基礎です。できれば所属確認、移調比較、和音識別は同じ計算から導けます。ワークシートの反復で計算を自動化します。

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出典

• Forte, Allen. The Structure of Atonal Music. Yale University Press, 1973.
• Gotham, Mark, et al. Open Music Theory、第2版。VIVA/Open Textbook Library、2023。
• Straus, Joseph. Introduction to Post-Tonal Theory、第4版。W. W. Norton、2016。
• Tymoczko, Dmitri. A Geometry of Music. Oxford University Press, 2011.