Escalas simétricas: construye tonos enteros y semitono–tono desde cualquier altura

--- title: "Escalas simétricas: construye colecciones de tonos enteros y semitono–tono desde cualquier altura" slug: symmetric-scales-whole-tone-half-whole description: "Aprende a construir colecciones de tonos enteros y octatónicas (semitono–tono) repitiendo un patrón de pasos. Descubre por qué solo existen dos conjuntos de tonos enteros y tres octatónicos bajo transposición, practica la pertenencia de notas y explora cómo generan tríadas aumentadas y acordes de séptima disminuida. Incluye fichas gratuitas de construcción por ciclos y comprobación de pertenencia." category: Music Theory ---

¿Qué hace «simétrica» a una escala?

Ya conoces escalas con patrones de tonos y semitonos: mayor, menor natural y modos. Cada una tiene una secuencia desigual característica; la mayor es T-T-S-T-T-T-S. Esa desigualdad les da dirección, sensación de hogar y lejanía, tensión y resolución.

Una escala simétrica es distinta. Repite el mismo intervalo o un patrón corto sin interrupción hasta volver al comienzo. Dos colecciones aparecen constantemente en la música desde aproximadamente 1880 y merece la pena comprenderlas desde la base: la colección de tonos enteros (seis notas, todos tonos) y la colección octatónica (ocho notas, alternando semitonos y tonos).

No son exóticas por mera novedad. Tienen lógica interna clara, se construyen fácilmente desde cualquier altura y conectan con las clases de altura que sustentan mucha armonía del siglo XX. Aquí construiremos ambas, explicaremos por qué solo hay dos conjuntos de tonos enteros y tres octatónicos y mostraremos los acordes que generan. Los materiales están en Repite los pasos, encuentra el ciclo y ¿Pertenece la nueva nota?.

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La colección de tonos enteros

Una sola regla: cada paso es un tono, es decir, 2 semitonos.

Empieza en C y añade 2 semitonos seis veces:

C → D → E → F♯ → G♯ → B♭ → (C)

El sexto paso vuelve a C una octava arriba. El conjunto completo de clases de altura es {0, 2, 4, 6, 8, 10} en notación entera (C = 0, C♯/D♭ = 1, hasta B = 11).

Colección de tonos enteros desde C. Cada paso es exactamente 2 semitonos: seis tonos vuelven a C una octava arriba.

Cuenta los distintivos: seis pasos de 2 suman exactamente 12, una octava. No es casual. En cualquier patrón repetido, los pasos deben sumar 12 para «cerrar», volver a la clase inicial. Si sumaran menos, pararían a mitad de octava; si más, la sobrepasarían.

La fórmula permite empezar en cualquier nota. Desde F♯ resulta F♯-G♯-B♭-C-D-E-F♯, las mismas seis clases {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Desde G♯, G♯-B♭-C-D-E-F♯-G♯: las mismas. Toda altura inicial de número par vuelve a este conjunto.

Por qué sirve la fórmula

Un conjunto de clases de altura ignora en qué octava aparecen. Si un pasaje procede de la colección desde C, puedes nombrar todo lo que pertenece: C, D, E, F♯, G♯ o B♭ y equivalentes enarmónicos como A♭ por G♯. Otras notas, D♭, E♭, F, G, A o B, no pertenecen.

Línea melódica original enteramente del Conjunto 1 de tonos enteros (0, 2, 4, 6, 8, 10). Todo verificado: C=0 ✓ E=4 ✓ F♯=6 ✓ B♭=10 ✓ G♯=8 ✓ D=2 ✓.

La línea solo usa notas de tonos enteros. Puede sentirse flotante o ambigua: el patrón uniforme no deja asimetrías que sirvan de referencia al oído.

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Los dos conjuntos de tonos enteros

Conviene detenerse en este hecho: solo existen dos colecciones distintas de tonos enteros en el sistema cromático de doce notas.

Sorprendentemente pocas. Una mayor puede empezar en cualquiera de 12 alturas, igual que una menor natural. Pero las colecciones de tonos enteros desde C y D son las mismas seis clases en otro orden. Transponer 2 semitonos, un tono, devuelve el conjunto idéntico.

Esto se llama simetría transposicional. En teoría de conjuntos de clases de altura (Straus, Introduction to Post-Tonal Theory, 4.ª ed.), dos conjuntos son equivalentes por transposición si uno es transposición del otro por algún intervalo n. El de tonos enteros es simétrico por transposición porque T₂ (2 semitonos) lo transforma en sí mismo: cada elemento sube 2, pero la colección permanece igual.

Transponer el Conjunto 1 dos semitonos arriba (T₂) devuelve exactamente las mismas seis clases, reordenadas. Es invariante bajo T₂.

Sube el Conjunto 1 dos semitonos: vuelven las mismas seis clases. Otros dos: igual. Solo cambian al desplazar un número impar de semitonos:

Transponer 1 semitono, número impar, mueve cada clase al otro conjunto de tonos enteros.

T₁ llega a D♭, E♭, F, G, A, B: {1, 3, 5, 7, 9, 11}. Es el otro conjunto. T₁ de ese conjunto vuelve al 1. Ambos dividen la escala cromática en clases pares e impares.

Solo hay dos colecciones de tonos enteros. La 1 usa seis clases pares {0,2,4,6,8,10}; la 2, seis impares {1,3,5,7,9,11}.

Consecuencia: toda transposición cae en una de estas dos colecciones. No puedes construir una tercera. Tymoczko (A Geometry of Music, cap. 4) estudia la propiedad; la transposición mínima que devuelve una escala simétrica a sí misma puede llamarse su período: el período de tonos enteros es 2.

Las 12 clases en un anillo. Cian = Conjunto 1 par; coral = Conjunto 2 impar.

El círculo lo hace tangible: doce posiciones alternan Conjunto 1 cian y 2 coral. Cada posición par del reloj pertenece al 1; cada impar, al 2.

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La colección octatónica

Alterna dos tamaños de paso: un semitono (1 semitono) y luego un tono (2 semitonos), repitiendo hasta cerrar. Es el orden «semitono–tono»; el inverso «tono–semitono» también existe y produce el mismo conjunto desde otro punto inicial.

Desde C con semitono–tono:

C → D♭ → E♭ → E → F♯ → G → A → B♭ → (C)

Ocho clases distintas: {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10}. Pasos: 1-2-1-2-1-2-1-2. Cuatro parejas (1+2) = cuatro de 3 semitonos = 12 en total. ✓

Colección octatónica semitono–tono desde C. Alterna 1 y 2 semitonos cuatro veces. Ocho notas, suma 4 × 3 = 12.

Coral señala semitonos (+1); cian, tonos (+2). Ocho notas en vez de seis: colección más densa, dos tercios del cromatismo en lugar de la mitad.

Melodía original del Conjunto octatónico A. Todas sus notas pertenecen a {0,1,3,4,6,7,9,10}.

La línea recorre clases octatónicas sin orden escalar. La melodía salta libremente dentro de la colección con ocho candidatas disponibles: ofrece más alturas por frase que la de tonos enteros.

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Tres conjuntos octatónicos distintos

El período octatónico es 3, no 2: T₃ devuelve el conjunto idéntico. De doce alturas iniciales resultan no doce colecciones, sino doce ÷ 4 = tres (cada conjunto aparece cuatro veces: T₀, T₃, T₆ y T₉).

Las tres colecciones octatónicas semitono–tono distintas. Cada altura inicial pertenece exactamente a uno de estos tres conjuntos.

• Conjunto A (desde C): {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10}
• Conjunto B (desde D♭): {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}
• Conjunto C (desde D): {0, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11}

Juntos cubren las doce clases; cada una aparece exactamente en dos conjuntos, porque tres conjuntos × ocho miembros = 24 = 2 × 12.

Open Music Theory v2 (Gotham y otros) afirma que existen exactamente tres conjuntos octatónicos. Se deriva de la simetría de período 3 y de 12 ÷ mcd(12, 3) = 12 ÷ 3 = 4 repeticiones por colección.

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Compara las dos colecciones

La fórmula determina toda la estructura. Dos propiedades se deducen de inmediato: número de notas y de conjuntos distintos.

Patrones: tonos enteros, seis pasos de 2 (suma 12); octatónica, cuatro parejas 1+2 (suma 12). Ambas cierran en una octava.

Tonos enteros tiene seis notas porque 12 ÷ 2 = 6. Su período es 2 y las doce alturas iniciales se dividen en 12 ÷ 6 = 2 conjuntos distintos.

Octatónica tiene ocho porque cuatro parejas (1+2) = 12. Su período es 3 y las doce alturas iniciales dan 12 ÷ 4 = 3 conjuntos distintos.

Referencia rápida: tonos enteros frente a octatónica.

Observa «Se repite en»: T₂ para tonos enteros y T₃ para octatónica. Cualquier número par devuelve el mismo conjunto de tonos enteros; impar, el otro. En octatónica, cualquier múltiplo de 3 devuelve el mismo; 1 o 2, cualquier número no divisible por 3, lleva a uno de los otros dos.

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Receta para construir cualquier colección

Ambas siguen el mismo algoritmo.

Tres pasos desde cero. Comprobación de suma: 6 × 2 = 12 para tonos enteros; 4 × (1+2) = 12 para octatónica.

Paso 1: elige una altura inicial. Cualquier clase de 0 a 11. En octatónica determina el conjunto: C, E♭, F♯ o A producen A.

Paso 2: añade los pasos en orden. Para tonos enteros suma 2 repetidamente. Para octatónica semitono–tono suma 1 y 2 alternos. Lleva la cuenta de la clase y vuelve a 0 al superar 11.

Paso 3: para cuando vuelvas. Cuando el siguiente paso vuelva a la clase inicial, la colección está completa.

La ficha Repite los pasos, encuentra el ciclo muestra el algoritmo resuelto para ambos tipos. La única tarea es elegir inicio, aplicar el patrón, calcular la lista completa y nombrar cuál de los dos o tres conjuntos has obtenido.

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Acordes de colecciones simétricas

Los tipos de acordes contenidos son una de sus propiedades más útiles.

Tríadas aumentadas de tonos enteros

Toda tríada aumentada toma tres notas separadas uniformemente por 4 semitonos. Como la colección contiene solo clases pares y 4 es par, las tres siempre caen en el mismo conjunto de tonos enteros.

Tríada aumentada del Conjunto 1: tres de sus seis clases, C=0, E=4, G♯=8, equidistantes 4 semitonos.

C — E — G♯: clases 0, 4, 8, todas en {0, 2, 4, 6, 8, 10}. La colección contiene exactamente dos tríadas aumentadas distintas: C–E–G♯ y D–F♯–B♭, que reúnen sus seis clases.

Séptimas disminuidas de la octatónica

Cada acorde de séptima disminuida toma cuatro notas equidistantes por 3 semitonos. Como el período octatónico es 3, la simetría T₃ hace invariantes esas cuatro notas: el acorde se transforma en sí mismo al transponer 3 semitonos.

Séptima disminuida del Conjunto A: cuatro clases (0, 3, 6, 9) separadas 3 semitonos. T₃ devuelve el mismo acorde.

C — E♭ — F♯ — A: 0, 3, 6, 9, todas en A {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10}. Existen tres séptimas disminuidas distintas, una por conjunto octatónico, que cubren las 12 clases sin solaparse; por eso el acorde fue un pivote tan versátil en la armonía de finales del XIX.

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Pertenencia: ¿entra una nota?

Conocido el conjunto del pasaje, puedes comprobar cualquier candidata. El algoritmo es sencillo.

1. Identifica el conjunto. Si conoces inicio y tipo, consulta las tablas o derívalo con la fórmula.
2. Encuentra la clase de la nota candidata. Clase = número MIDI módulo 12 (C4 = 60, así que 60 mod 12 = 0 = C). O cuenta semitonos desde C.
3. Comprueba pertenencia. ¿Está esa clase en el conjunto? Si sí, pertenece; si no, no.

Inventario completo: dos conjuntos de tonos enteros cian y tres octatónicos coral. Cada clase aparece una vez en el inventario de cada tipo.

¿Pertenece A♭ a tonos enteros desde C? A♭ = clase 8. El Conjunto 1 es {0, 2, 4, 6, 8, 10}. ¿8 ∈ {0, 2, 4, 6, 8, 10}? Sí, pertenece, enarmónico de G♯. ¿Y D♭? D♭ = 1. ¿1 ∈ {0, 2, 4, 6, 8, 10}? No, no pertenece al 1.

La ficha ¿Pertenece la nueva nota? desarrolla cuatro tipos de pregunta: completar miembro faltante, pruebas sí/no, comparar transposiciones y composición corta en el banco octatónico.

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Breve introducción a la notación de conjuntos

La notación entera describe estas colecciones con precisión. Las convenciones proceden de teoría postonal formalizada en The Structure of Atonal Music de Allen Forte (Yale UP, 1973) y en Introduction to Post-Tonal Theory de Joseph Straus (4.ª ed., W. W. Norton, 2016):

• Clase 0 = C, en cualquier octava: C2, C4, C7, ...
• Clase 1 = C♯/D♭
• Clase 2 = D
• ... hasta clase 11 = B

La transposición T_n sube cada clase n semitonos, volviendo al principio en 12. T₂ de {0, 2, 4, 6, 8, 10} da {2, 4, 6, 8, 10, 0}, el mismo conjunto reordenado. T₁ da {1, 3, 5, 7, 9, 11}, el otro.

Las etiquetas de clase de conjunto usadas en esta teoría son 6-35 (hexacordo de tonos enteros en numeración Forte) y 8-28 (octacordo octatónico). Son identificadores de referencia, no instrucciones de interpretación, pero permiten buscar bibliografía analítica que los utiliza.

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Llévalo a la práctica

Las dos fichas llevan del concepto a la soltura con lápiz y papel.

Repite los pasos, encuentra el ciclo (Ficha 482) muestra el algoritmo de ambos tipos y pide la lista completa desde cualquier inicio. Los audios permiten oír cada carácter: la melodía de tonos enteros flota sin atracción gravitatoria; la octatónica presenta contrastes más marcados por sus semitonos alternos.

Idea melódica original del Conjunto 1. Cada clase se verifica dentro de {0,2,4,6,8,10}.

¿Pertenece la nueva nota? (Ejercicio 186) tiene cuatro secciones:

• Sección A — Completa un miembro faltante en una fila de colección.
• Sección B — Sí/no: ¿pertenece la candidata a la colección indicada?
• Sección C — Transposiciones: ¿T₂ o T₁ mantiene o cambia el conjunto?
• Sección D — Compón una línea corta solo con C/D♭/E♭/E/F♯/G/A/B♭.

Ambas incluyen audios de las colecciones completas para relacionar el conjunto teórico con su sonido antes de escribir.

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Resumen

Tonos enteros y octatónica son simétricas en sentido matemático estricto: invariantes bajo transposición regular. Esa propiedad, el período, determina cuántos conjuntos hay, qué acordes contienen y cómo suena la música construida con ellos.

Colección de tonos enteros:

• Patrón: 2-2-2-2-2-2 (seis tonos)
• Miembros desde C: C D E F♯ G♯ B♭
• Clases: {0, 2, 4, 6, 8, 10}
• Solo 2 conjuntos distintos (período T₂)
• Acorde característico: tríada aumentada

Colección octatónica semitono–tono:

• Patrón: 1-2-1-2-1-2-1-2 (alternado)
• Miembros desde C: C D♭ E♭ E F♯ G A B♭
• Clases: {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10}
• Solo 3 conjuntos distintos (período T₃)
• Acorde característico: séptima disminuida

Construir desde cero, elegir inicio, aplicar ciclo y parar al volver, es la habilidad básica. Después pertenencia, comparaciones e identificación de acordes se deducen de la misma aritmética. Las fichas dan las repeticiones para automatizarla.

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Fuentes

• Forte, Allen. The Structure of Atonal Music. Yale University Press, 1973.
• Gotham, Mark, et al. Open Music Theory, versión 2. VIVA/Open Textbook Library, 2023.
• Straus, Joseph. Introduction to Post-Tonal Theory, 4.ª ed. W. W. Norton, 2016.
• Tymoczko, Dmitri. A Geometry of Music. Oxford University Press, 2011.