Symmetrische Skalen: Ganzton- und Halbton-Ganzton-Tonvorräte von jedem Ton aus bilden

--- title: "Symmetrische Skalen: Ganzton- und Halbton-Ganzton-Tonvorräte von jedem Ton aus aufbauen" slug: symmetric-scales-whole-tone-half-whole description: "Lerne, Ganzton- und oktatonische Halbton-Ganzton-Tonvorräte durch Wiederholen eines Schrittmusters aufzubauen. Entdecke, warum unter Transposition nur zwei Ganztonmengen und drei oktatonische Mengen existieren, prüfe die Zugehörigkeit von Tönen und erkunde, wie diese Tonklassenmengen übermäßige Dreiklänge und verminderte Septakkorde erzeugen. Mit kostenlosen Arbeitsblättern zum Aufbau von Schrittschleifen und zur Zugehörigkeitsprüfung." category: Music Theory ---

Was macht eine Skala „symmetrisch“?

Du kennst bereits Skalen mit einem bestimmten Muster aus Halb- und Ganztonschritten: Dur, natürliches Moll und die Modi. Jede besitzt eine charakteristische ungleichmäßige Folge – Dur etwa W-W-H-W-W-W-H, wobei W Ganzton und H Halbton bedeutet. Genau diese Ungleichmäßigkeit vermittelt Richtung, Heimat und Ferne, Spannung und Auflösung.

Eine symmetrische Skala funktioniert anders. Sie verwendet immer dasselbe Intervall oder wiederholt ununterbrochen ein kurzes Muster, bis die Schritte zum Ausgangspunkt zurückführen. Zwei symmetrische Tonvorräte begegnen seit etwa 1880 ständig in Musik und verdienen ein grundlegendes Verständnis: die Ganztonsammlung mit sechs Tönen und ausschließlich Ganztonschritten sowie die oktatonische Sammlung mit acht Tönen und abwechselnden Halb- und Ganztonschritten.

Keiner dieser Tonvorräte ist bloß um der Neuheit willen exotisch. Beide haben eine klare innere Logik, lassen sich von jedem Ausgangston leicht bilden und verbinden sich direkt mit dem Tonklassendenken hinter viel Harmonik des 20. Jahrhunderts. Dieser Artikel baut beide von Grund auf, erklärt die nur zwei verschiedenen Ganztonmengen und drei oktatonischen Mengen und zeigt daraus entstehende Akkordtypen. Übungsmaterial bieten „Wiederhole die Schritte, finde die Schleife“ und „Gehört der neue Ton dazu?“.

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Die Ganztonsammlung

Für die Ganztonsammlung gilt eine Regel: Jeder Schritt ist ein Ganzton, also zwei Halbtöne.

Beginne auf C und addiere sechsmal zwei Halbtöne:

C → D → E → Fis → Gis → B → (C)

Der sechste Schritt führt eine Oktave höher zu C zurück. Die vollständige Tonklassenmenge lautet {0, 2, 4, 6, 8, 10} in Ganzzahlschreibweise: C = 0, Cis/Des = 1 und so weiter bis H = 11; deutsches B entspricht dem internationalen B♭.

Die Ganztonsammlung ab C. Jeder Schritt umfasst genau zwei Halbtöne; sechs Ganztonschritte führen eine Oktave höher zu C zurück.

Zähle die Abzeichen: sechs Schritte zu zwei Halbtönen ergeben genau zwölf – eine Oktave. Diese Summe ist kein Zufall. Für jedes wiederholte Schrittmuster müssen sich die Schritte zu zwölf addieren, damit sich der Tonvorrat „schließt“ und zur Ausgangstonklasse zurückkehrt. Bei weniger endete das Muster mitten in der Oktave, bei mehr schösse es darüber hinaus.

Mit der Schrittformel lässt sich die Sammlung von jedem Ton aus bilden. Ab Fis erhältst du Fis–Gis–B–C–D–E–Fis mit denselben sechs Tonklassen {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Ab Gis entsteht Gis–B–C–D–E–Fis–Gis, wieder dieselbe Menge. Jeder geradzahlige Ausgangston führt in diese eine Menge zurück.

Warum die Formel nützlich ist

Eine Tonklassenmenge fasst Tonklassen unabhängig von ihrer Oktavlage zusammen. Sobald du weißt, dass ein Stück oder Abschnitt aus der Ganztonsammlung ab C stammt, kennst du alle zugehörigen Töne: C, D, E, Fis, Gis oder B und ihre enharmonischen Entsprechungen, etwa As für Gis. Andere Töne – Des, Es, F, G, A, H – gehören nicht dazu.

Eine eigene Melodie vollständig aus Ganztonmenge 1 mit Tonklassen 0, 2, 4, 6, 8, 10. Alle Töne geprüft: C=0 ✓ E=4 ✓ Fis=6 ✓ B=10 ✓ Gis=8 ✓ D=2 ✓.

Diese zweitaktige Linie nutzt nur Ganztontöne. Die Melodie kann schwebend oder mehrdeutig wirken – unmittelbar durch das gleichmäßige Schrittmuster, das dem Ohr keine Asymmetrie als Orientierung bietet.

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Die zwei Ganztonmengen

Eine bemerkenswerte Tatsache: Im zwölftönigen chromatischen System gibt es nur zwei verschiedene Ganztonsammlungen.

Das ist überraschend wenig. Eine Durtonleiter kann auf jedem der zwölf Töne beginnen, eine natürliche Molltonleiter ebenso. Ganztonsammlungen ab C und D bestehen aber aus denselben sechs Tonklassen, nur anders angeordnet. Die Transposition um zwei Halbtöne, einen Ganzton, liefert wieder dieselbe Menge.

Das heißt Transpositionssymmetrie. In der Tonklassenmengenlehre (siehe Straus, Introduction to Post-Tonal Theory, 4. Auflage) sind zwei Mengen transpositionsäquivalent, wenn eine um ein Intervall n transponiert die andere ergibt. Die Ganztonmenge ist transpositionssymmetrisch, weil T₂, die Transposition um zwei Halbtöne, sie auf sich selbst abbildet: Jedes Element verschiebt sich um zwei, die gesamte Sammlung bleibt gleich.

Die Transposition der Ganztonmenge 1 um zwei Halbtöne nach oben, T₂, ergibt genau dieselben sechs Tonklassen in anderer Reihenfolge. Die Menge ist unter T₂ invariant.

Verschiebe Ganztonmenge 1 um zwei Halbtöne aufwärts, und dieselben sechs Tonklassen kehren zurück. Nochmals zwei Halbtöne: dieselbe Menge. Erst eine ungerade Anzahl Halbtöne verändert die Tonklassen:

Transposition um einen Halbton, eine ungerade Zahl, verschiebt jede Tonklasse in die andere Ganztonmenge.

T₁, die Verschiebung um einen Halbton, führt zu Des, Es, F, G, A, H – Tonklassen {1, 3, 5, 7, 9, 11}. Das ist die andere Ganztonmenge. Und T₁ dieser Menge führt zu Menge 1 zurück. Die beiden Mengen teilen die chromatische Skala in gerad- und ungeradzahlige Tonklassen.

Es gibt nur zwei Ganztonsammlungen. Menge 1 nutzt die sechs geraden Tonklassen {0,2,4,6,8,10}, Menge 2 die sechs ungeraden {1,3,5,7,9,11}.

Daraus folgt: Jede Transposition des Ganztonmusters landet in genau einer dieser beiden Sammlungen. Eine dritte lässt sich nicht bilden. Tymoczko (A Geometry of Music, Kapitel 4) bespricht diese Eigenschaft. Die kleinste Transposition, die eine symmetrische Skala auf sich selbst zurückführt, heißt ihre Periode: Für die Ganztonsammlung beträgt sie 2.

Alle zwölf Tonklassen im Kreis. Cyan = Ganztonmenge 1, gerade; Koralle = Ganztonmenge 2, ungerade.

Der Tonklassenkreis macht es greifbar: Die zwölf Positionen wechseln zwischen Menge 1, cyan, und Menge 2, korallfarben. Jede gerade Uhrposition gehört zu Menge 1, jede ungerade zu Menge 2.

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Die oktatonische Sammlung

Die oktatonische Sammlung wechselt zwei Schrittgrößen ab: einen Halbtonschritt, dann einen Ganztonschritt mit zwei Halbtönen, wiederholt bis zum Schließen des Musters. Das heißt Halbton-Ganzton-Reihenfolge. Auch die umgekehrte Ganzton-Halbton-Folge ist möglich und erzeugt dieselbe Tonklassenmenge von einem anderen Ausgangspunkt aus.

Ab C im Halbton-Ganzton-Muster:

C → Des → Es → E → Fis → G → A → B → (C)

Acht verschiedene Tonklassen: {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10}. Schrittgrößen: 1-2-1-2-1-2-1-2. Vier Paare (1+2) = vier Paare zu drei Halbtönen = insgesamt zwölf. ✓

Oktatonische Halbton-Ganzton-Sammlung ab C. Die Schritte wechseln viermal zwischen einem und zwei Halbtönen. Acht Töne, Schrittsumme 4 × 3 = 12.

Korallfarbene Abzeichen markieren Halbtonschritte (+1), cyanfarbene Ganztonschritte (+2). Acht statt sechs Töne: Der Vorrat ist dichter und deckt zwei Drittel statt die Hälfte der chromatischen Skala ab.

Eigene Melodie aus oktatonischer Menge A. Jeder Ton gehört zu {0,1,3,4,6,7,9,10}.

Diese Linie durchläuft oktatonische Tonklassen außerhalb der Skalenreihenfolge. Eine Melodie kann innerhalb des Vorrats frei springen, während alle acht Kandidaten verfügbar bleiben: Die Menge bietet pro Phrase mehr mögliche Töne als die Ganztonsammlung.

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Drei verschiedene oktatonische Mengen

Die Periode der oktatonischen Sammlung beträgt 3, nicht 2: Transposition um drei Halbtöne, T₃, liefert dieselbe Tonklassenmenge. Aus zwölf möglichen Ausgangstönen entstehen deshalb nicht zwölf verschiedene Sammlungen, sondern zwölf ÷ vier = drei, da jede Menge viermal auftritt: bei T₀, T₃, T₆ und T₉.

Die drei verschiedenen oktatonischen Halbton-Ganzton-Sammlungen. Jeder Ausgangston gehört zu genau einer dieser drei Mengen.

• Menge A (ab C): {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10}
• Menge B (ab Des): {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}
• Menge C (ab D): {0, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11}

Zusammen decken diese drei Mengen alle zwölf Tonklassen ab. Jede kommt in genau zwei Mengen vor, denn jede Menge hat acht Elemente und drei × acht = 24 = 2 × 12.

Open Music Theory v2 von Gotham und anderen nennt genau drei oktatonische Tonklassenmengen. Das folgt aus der Symmetrie mit Periode 3 und der Rechnung 12 ÷ ggT(12, 3) = 12 ÷ 3 = vier Wiederholungen je Sammlung.

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Vergleich der beiden Sammlungen

Die Schrittformel bestimmt die gesamte Struktur. Zwei Eigenschaften folgen unmittelbar: die Zahl der Töne und die Zahl verschiedener Mengen.

Vergleich der Schrittmuster. Ganzton: sechs Schritte zu zwei Halbtönen, Summe zwölf. Oktatonisch: vier Paare von 1+2 Halbtönen, Summe zwölf. Beide schließen sich innerhalb einer Oktave.

Die Ganztonsammlung hat sechs Töne, weil 12 ÷ 2 = 6. Ihre Periode ist 2; zwölf Ausgangstöne teilen sich daher in 12 ÷ 6 = zwei verschiedene Mengen.

Die oktatonische Sammlung hat acht Töne, weil vier Paare (1+2) zwölf ergeben. Ihre Periode ist 3; zwölf Ausgangstöne teilen sich in 12 ÷ 4 = drei verschiedene Mengen.

Kurzüberblick: Ganzton und Oktatonik auf einen Blick.

Beachte die Zeile „Wiederholung bei“: T₂ für Ganzton, T₃ für Oktatonik. Jede gerade Transposition der Ganztonsammlung liefert dieselbe Menge, jede ungerade die andere. Jedes Vielfache von drei liefert bei der oktatonischen Sammlung dieselbe Menge; bei eins oder zwei und allem nicht durch drei Teilbaren gelangst du in eine der beiden anderen Mengen.

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So baust du eine Sammlung: das Rezept

Beide Sammlungen folgen demselben Konstruktionsalgorithmus.

Drei Schritte zum Aufbau jeder symmetrischen Sammlung. Summenprüfung: 6 × 2 = 12 für Ganzton, 4 × (1+2) = 12 für Oktatonik.

Schritt 1 – Ausgangston wählen. Jede Tonklasse von 0 bis 11 ist möglich. Bei der oktatonischen Sammlung bestimmt der Ausgangston die Menge: C, Es, Fis oder A ergeben jeweils Menge A.

Schritt 2 – Schritte der Reihe nach addieren. Für Ganzton immer zwei addieren. Für Oktatonik Halbton-Ganzton abwechselnd eins und zwei. Behalte die aktuelle Tonklasse im Blick und beginne nach 11 wieder bei 0.

Schritt 3 – Bei der Rückkehr stoppen. Würde der nächste Schritt zur Ausgangstonklasse zurückführen, ist die Sammlung vollständig.

Das Blatt „Wiederhole die Schritte, finde die Schleife“ zeigt den Schrittschleifen-Algorithmus für beide Typen. Die einzelne Lernaufgabe lautet: Ausgangston wählen, Muster anwenden, vollständige Elementliste ermitteln und benennen, in welcher der zwei oder drei Mengen du gelandet bist.

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Akkorde aus symmetrischen Sammlungen

Besonders nützlich sind die Akkordtypen, die diese Sammlungen enthalten.

Übermäßige Dreiklänge aus der Ganztonsammlung

Jeder übermäßige Dreiklang besteht aus drei Tönen in gleichmäßigen Abständen von vier Halbtönen. Da die Ganztonsammlung nur gerade Tonklassen enthält und vier gerade ist, landen die drei Töne eines übermäßigen Dreiklangs stets in derselben Ganztonmenge.

Übermäßiger Dreiklang aus Ganztonmenge 1. Drei der sechs Tonklassen, C=0, E=4, Gis=8, im gleichen Abstand von vier Halbtönen.

C – E – Gis: Tonklassen 0, 4, 8, alle in Menge 1 {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Die Ganztonsammlung enthält genau zwei verschiedene übermäßige Dreiklänge: C–E–Gis und D–Fis–B. Zusammen umfassen sie alle sechs Tonklassen der Menge 1.

Verminderte Septakkorde aus der oktatonischen Sammlung

Jeder verminderte Septakkord besteht aus vier Tönen in gleichmäßigen Abständen von drei Halbtönen. Die Periode 3 der oktatonischen Sammlung und die T₃-Symmetrie bedeuten, dass die vier Akkordtöne unter T₃ invariant sind: Bei Transposition um drei Halbtöne wird der Akkord auf sich selbst abgebildet.

Verminderter Septakkord aus oktatonischer Menge A. Vier Tonklassen 0, 3, 6, 9 in Abständen von drei Halbtönen. T₃ bildet den Akkord auf sich selbst ab.

C – Es – Fis – A: Tonklassen 0, 3, 6, 9, alle in Menge A {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10}. Es gibt drei verschiedene verminderte Septakkorde, einen pro oktatonischer Menge. Zusammen decken sie alle zwölf Tonklassen ohne Überschneidung ab – deshalb war der verminderte Septakkord ein so vielseitiger harmonischer Drehpunkt im späten 19. Jahrhundert.

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Zugehörigkeitsprüfung: Gehört ein Ton dazu?

Kennst du die Menge einer Passage, kannst du jeden möglichen Ton auf Zugehörigkeit prüfen. Der Algorithmus ist einfach.

1. Bestimme die Menge. Kennst du Ausgangston und Sammlungstyp, schlage die Tonklassenmenge oben nach oder leite sie aus der Schrittformel ab.
2. Ermittle die Tonklasse des Kandidaten. Tonklasse = MIDI-Notennummer modulo 12. C4 = 60, also Tonklasse 60 mod 12 = 0 = C. Oder zähle einfach Halbtöne ab C.
3. Prüfe die Mengenzugehörigkeit. Ist die Tonklasse in der Menge? Wenn ja, gehört der Ton dazu; wenn nein, nicht.

Vollständiges Inventar: zwei Ganztonmengen in Cyan und drei oktatonische Mengen in Koralle. Jede Tonklasse erscheint im Inventar jedes Typs einmal.

Beispiel: Gehört As zur Ganztonsammlung ab C? As = Tonklasse 8. Menge 1 ist {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Ist 8 ∈ {0, 2, 4, 6, 8, 10}? Ja – As gehört dazu, enharmonisch Gis. Gehört Des dazu? Des = Tonklasse 1. Ist 1 ∈ {0, 2, 4, 6, 8, 10}? Nein – Des gehört nicht zu Menge 1.

Das Blatt „Gehört der neue Ton dazu?“ integriert diese Prüfung in vier Aufgabentypen: fehlendes Element ergänzen, Ja/Nein-Kandidatentests, Transpositionsvergleiche und eine kurze Komposition mit dem oktatonischen Vorrat.

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Tonklassenmengen notieren: kurze Einführung

Ganzzahlschreibweise beschreibt diese Sammlungen präzise. Die Konventionen stammen aus der posttonalen Musiktheorie, formalisiert in Allen Fortes The Structure of Atonal Music (Yale UP, 1973) und Joseph Straus’ Introduction to Post-Tonal Theory (4. Auflage, W. W. Norton, 2016):

• Tonklasse 0 = C in jeder Oktave: C2, C4, C7, …
• Tonklasse 1 = Cis/Des
• Tonklasse 2 = D
• … und so weiter bis Tonklasse 11 = H (international B)

Transposition T_n verschiebt jede Tonklasse um n Halbtöne nach oben, mit Rückkehr bei zwölf. T₂ auf {0, 2, 4, 6, 8, 10} ergibt {2, 4, 6, 8, 10, 0}: dieselbe Menge anders geordnet. T₁ ergibt {1, 3, 5, 7, 9, 11}, die andere Menge.

Die Mengenklassen heißen in der Tonklassenmengenlehre 6-35 für den Ganztonhexachord nach Fortes Nummerierung und 8-28 für den oktatonischen Oktachord. Das sind Referenzkennungen, keine Spielanweisungen. Sie ermöglichen dir aber, damit arbeitende analytische Literatur nachzuschlagen.

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In die Praxis umsetzen

Die beiden Arbeitsblätter führen vom Konzept zur sicheren Arbeit mit Papier und Stift.

„Wiederhole die Schritte, finde die Schleife“ (Handout 482) führt den Schrittschleifen-Algorithmus für beide Typen vor und lässt dich die vollständige Elementliste von jedem Ausgangston aus ermitteln. Audiobeispiele machen die charakteristischen Klänge hörbar: Die Ganztonmelodie schwebt ohne Schwerkraft, die oktatonische Linie bietet durch ihre wechselnden Halbtonschritte schärfere Intervallkontraste.

Eigene melodische Idee aus Ganztonmenge 1. Die Tonklasse jedes Tons gehört nachweislich zu {0,2,4,6,8,10}.

„Gehört der neue Ton dazu?“ (Übung 186) hat vier Abschnitte:

• Abschnitt A — Ergänze ein fehlendes Element einer vorgegebenen Sammlungszeile.
• Abschnitt B — Ja/Nein: Gehört dieser Kandidat zur genannten Sammlung?
• Abschnitt C — Transpositionsprüfungen: Bewahrt oder verändert T₂ bzw. T₁ die Menge?
• Abschnitt D — Komponiere eine kurze Linie nur aus dem oktatonischen Vorrat C/Des/Es/E/Fis/G/A/B.

Beide Blätter enthalten Höranteile mit Audiobeispielen der vollständigen Sammlungen. So verbindest du die theoretische Tonklassenmenge mit ihrem Klang, bevor du die schriftlichen Aufgaben angehst.

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Zusammenfassung

Ganzton- und oktatonische Sammlungen sind streng mathematisch symmetrisch: Jede bleibt unter einer regelmäßigen Transposition unverändert. Diese eine Eigenschaft, die Periode, bestimmt die Zahl verschiedener Mengen, enthaltene Akkorde und den Klang daraus gebauter Musik.

Ganztonsammlung:

• Schrittmuster: 2-2-2-2-2-2, sechs Ganztonschritte
• Elemente ab C: C D E Fis Gis B
• Tonklassen: {0, 2, 4, 6, 8, 10}
• Nur zwei verschiedene Mengen, Periode T₂
• Charakteristischer Akkord: übermäßiger Dreiklang

Oktatonische Halbton-Ganzton-Sammlung:

• Schrittmuster: 1-2-1-2-1-2-1-2, abwechselnd
• Elemente ab C: C Des Es E Fis G A B
• Tonklassen: {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10}
• Nur drei verschiedene Mengen, Periode T₃
• Charakteristischer Akkord: verminderter Septakkord

Die grundlegende Fertigkeit ist, beide Sammlungen selbst aufzubauen: Ausgangston wählen, Schrittschleife anwenden, bei der Rückkehr stoppen. Danach folgen Zugehörigkeitsprüfungen, Transpositionsvergleiche und Akkorderkennung aus derselben Rechnung. Die Arbeitsblätter geben dir Wiederholungen, mit denen diese Rechnung selbstverständlich wird.

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Quellen

• Forte, Allen. The Structure of Atonal Music. Yale University Press, 1973.
• Gotham, Mark, et al. Open Music Theory, Version 2. VIVA/Open Textbook Library, 2023.
• Straus, Joseph. Introduction to Post-Tonal Theory, 4. Auflage. W. W. Norton, 2016.
• Tymoczko, Dmitri. A Geometry of Music. Oxford University Press, 2011.