Симметричные гаммы: стройте целотоновые и полутон-тоновые звукоряды от любой ноты

--- title: "Симметричные гаммы: стройте целотоновые и полутон-тоновые звукоряды от любой ноты" slug: symmetric-scales-whole-tone-half-whole description: "Научитесь строить целотоновые и октатонические (полутон–тон) звукоряды повторением одной последовательности шагов. Узнайте, почему при транспозиции существуют лишь два целотоновых и три октатонических множества, проверяйте принадлежность нот и исследуйте возникающие увеличенные трезвучия и уменьшённые септаккорды. Включены бесплатные листы для построения циклов и проверки принадлежности." category: Music Theory ---

Что делает гамму «симметричной»?

Вы уже знаете гаммы с определённым рисунком полутонов и тонов: мажор, натуральный минор, лады. У каждой характерная неравномерная последовательность — мажор идёт W-W-H-W-W-W-H, — и именно неравномерность создаёт ощущение направления, дома и удаления, напряжения и разрешения.

Симметричная гамма устроена иначе. Она снова и снова использует один интервал или без перерыва повторяет короткий рисунок, пока шаги не вернут к началу. Два симметричных звукоряда постоянно встречаются в музыке примерно после 1880 года, и оба стоит понять с основ: целотоновый звукоряд (шесть нот, все шаги — целые тоны) и октатонический звукоряд (восемь нот, чередование полутонов и тонов).

Ни один не экзотичен ради новизны. У них ясная внутренняя логика, их легко построить от любой ноты, и они прямо связаны с мышлением звуковысотными классами, лежащим в основе значительной части гармонии XX века. Статья строит оба с нуля, объясняет, почему различных целотоновых множеств только два, а октатонических три, и показывает порождаемые типы аккордов. Практика — в материалах «Повторяйте шаги, найдите цикл» и «Принадлежит ли новая нота?».

---

Целотоновый звукоряд

У целотонового звукоряда одно правило: каждый шаг — целый тон, то есть 2 полутона.

Начните с C и шесть раз прибавьте 2 полутона:

C → D → E → F♯ → G♯ → B♭ → (C)

Шестой шаг возвращает к C октавой выше. Полное множество звуковысотных классов — {0, 2, 4, 6, 8, 10} в целочисленной записи, где C = 0, C♯/D♭ = 1 и так далее до B = 11.

Целотоновый звукоряд от C. Каждый шаг ровно 2 полутона; шесть целых тонов возвращают к C октавой выше.

Посчитайте значки: шесть шагов по 2 полутона в сумме дают ровно 12 — октаву. Это не случайность. Для любого повторяющегося рисунка шагов их сумма должна быть 12, чтобы звукоряд «замкнулся», вернулся к исходному звуковысотному классу. При меньшей сумме рисунок остановился бы внутри октавы, при большей — вышел за неё.

Формула позволяет строить звукоряд от любой ноты. От F♯ получаем F♯-G♯-B♭-C-D-E-F♯, те же шесть классов {0, 2, 4, 6, 8, 10}. От G♯: G♯-B♭-C-D-E-F♯-G♯ — снова те же шесть. Любая начальная высота с чётным номером возвращает в это множество.

Чем полезна формула

Множество звуковысотных классов рассматривает классы без учёта октавы звучания. Зная, что пьеса или пассаж взяты из целотонового звукоряда от C, вы сразу назовёте все допустимые ноты: C, D, E, F♯, G♯ или B♭ и их энгармонические эквиваленты, например A♭ вместо G♯. Все остальные — D♭, E♭, F, G, A, B — не принадлежат ему.

Авторская мелодия целиком из целотонового множества 1 (классы 0, 2, 4, 6, 8, 10). Каждая нота проверена: C=0 ✓ E=4 ✓ F♯=6 ✓ B♭=10 ✓ G♯=8 ✓ D=2 ✓.

Эта двухтактовая линия использует только целотоновые ноты. Мелодия может казаться парящей или неопределённой: прямое следствие одинаковых шагов, не оставляющих уху асимметричного ориентира.

---

Два целотоновых множества

На этом факте стоит задержаться: в двенадцатизвуковой хроматической системе существует только два различных целотоновых звукоряда.

Это неожиданно мало. Мажор можно начать с любой из 12 высот, как и натуральный минор. Но целотоновые звукоряды от C и от D — те же шесть классов, перечисленные в ином порядке. Транспозиция на 2 полутона, один целый тон, возвращает идентичное множество.

Это называется транспозиционной симметрией. В теории множеств звуковысотных классов (см. Straus, Introduction to Post-Tonal Theory, 4-е изд.) два множества транспозиционно эквивалентны, если одно является транспозицией другого на некоторый интервал n. Целотоновое множество транспозиционно симметрично, потому что T₂, транспозиция на 2 полутона, отображает его на себя: каждый элемент сдвигается на 2, но весь набор остаётся прежним.

Транспозиция целотонового множества 1 вверх на 2 полутона (T₂) возвращает ровно те же шесть классов в ином порядке. Множество инвариантно относительно T₂.

Сдвиньте целотоновое множество 1 вверх на 2 полутона — получите те же шесть классов. Ещё на 2 — то же множество. Только сдвиг на нечётное число полутонов меняет классы:

Транспозиция на 1 полутон, нечётное число, переводит каждый класс в другое целотоновое множество.

T₁, сдвиг на 1 полутон, даёт D♭, E♭, F, G, A, B — классы {1, 3, 5, 7, 9, 11}. Это другое целотоновое множество. А T₁ от этого множества возвращает множество 1. Два множества делят хроматическую гамму на классы с чётными и нечётными номерами.

Целотоновых звукорядов только два. Множество 1 использует шесть чётных классов {0,2,4,6,8,10}, множество 2 — шесть нечётных {1,3,5,7,9,11}.

Следствие: любая транспозиция целотонового рисунка попадает ровно в одно из этих двух множеств. Третье построить нельзя. Tymoczko (A Geometry of Music, гл. 4) обсуждает это свойство; минимальную транспозицию, возвращающую симметричную гамму к себе, можно назвать её периодом: у целотонового звукоряда период 2.

Все 12 классов расположены кольцом. Голубой — целотоновое множество 1 (чётное); коралловый — множество 2 (нечётное).

Круг делает это наглядным: двенадцать позиций чередуют множество 1 (голубое) и 2 (коралловое). Каждая чётная позиция циферблата в множестве 1, каждая нечётная — в 2.

---

Октатонический звукоряд

Октатонический звукоряд чередует два размера шага: один полутон (1 полутон), затем один целый тон (2 полутона), повторяя до замыкания. Это порядок «полутон–тон»; обратный, «тон–полутон», тоже возможен и даёт то же множество с другой начальной точки.

От C по рисунку полутон–тон:

C → D♭ → E♭ → E → F♯ → G → A → B♭ → (C)

Восемь различных классов: {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10}. Размеры шагов: 1-2-1-2-1-2-1-2. Четыре пары (1+2) = четыре пары по 3 полутона = всего 12. ✓

Октатонический звукоряд полутон–тон от C. Шаги 1 и 2 полутона чередуются четыре раза. Восемь нот, сумма шагов 4 × 3 = 12.

Коралловые значки — полутоны (+1), голубые — целые тоны (+2). Восемь нот вместо шести: звукоряд плотнее, охватывает две трети хроматической гаммы, а не половину.

Авторская мелодия из октатонического множества A. Каждая нота принадлежит {0,1,3,4,6,7,9,10}.

Линия движется по октатоническим классам не в гаммовом порядке. Заметьте, как мелодия свободно скачет внутри набора, пока доступны все восемь кандидатов: у композитора больше высот на фразу, чем в целотоновом звукоряде.

---

Три различных октатонических множества

Период октатонического звукоряда — 3, не 2: транспозиция на 3 полутона (T₃) возвращает идентичное множество. Поэтому из двенадцати начальных высот получаем не двенадцать разных наборов, а двенадцать ÷ 4 = три, поскольку каждое появляется четыре раза: при T₀, T₃, T₆ и T₉.

Три различных октатонических звукоряда полутон–тон. Каждая начальная высота принадлежит ровно одному из этих трёх множеств.

• Множество A (от C): {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10}
• Множество B (от D♭): {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}
• Множество C (от D): {0, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11}

Вместе три множества охватывают все двенадцать классов, причём каждый встречается ровно в двух: в каждом восемь элементов, а 3 × 8 = 24 = 2 × 12.

Open Music Theory v2 (Gotham и др.) утверждает, что октатонических множеств ровно три. Результат следует из симметрии с периодом 3 и арифметики 12 ÷ gcd(12, 3) = 12 ÷ 3 = 4 повторения на звукоряд.

---

Сравнение двух звукорядов

Формула шагов определяет всю структуру. Сразу следуют два свойства: сколько нот в звукоряде и сколько различных множеств существует.

Сравнение шагов. Целотоновый: шесть шагов по 2 полутона, сумма 12. Октатонический: четыре пары 1+2 полутона, сумма 12. Оба замыкаются в одной октаве.

В целотоновом звукоряде шесть нот, потому что 12 ÷ 2 = 6. Период 2 делит двенадцать начальных высот на 12 ÷ 6 = 2 различных множества.

В октатоническом восемь нот, потому что четыре пары (1+2) = 12. Период 3 делит двенадцать начальных высот на 12 ÷ 4 = 3 различных множества.

Краткая справка: целотоновый и октатонический звукоряды одним взглядом.

Заметьте строку «Повторяется при»: T₂ для целотонового, T₃ для октатонического. Любое чётное число полутонов возвращает тот же целотоновый набор; нечётное даёт другой. Любое кратное 3 возвращает тот же октатонический набор; 1 или 2, любое не делящееся на 3, переводит в одно из двух других.

---

Как построить любой звукоряд: рецепт

Оба следуют одному алгоритму построения.

Три шага построения симметричного звукоряда с нуля. Проверка суммы: 6 × 2 = 12 для целотонового; 4 × (1+2) = 12 для октатонического.

Шаг 1 — выберите начальную высоту. Любой класс от 0 до 11. В октатоническом звукоряде начало определяет множество: C, E♭, F♯ или A дают A.

Шаг 2 — прибавляйте шаги по порядку. Для целотонового постоянно прибавляйте 2. Для октатонического полутон–тон чередуйте 1 и 2. Следите за текущим классом, возвращаясь к 0 после 11.

Шаг 3 — остановитесь при возвращении. Когда следующий шаг вернёт к исходному классу, звукоряд завершён.

Материал «Повторяйте шаги, найдите цикл» показывает алгоритм цикла для обоих типов. Единственная задача ученика: выбрать начальную высоту, применить рисунок, вычислить полный список элементов и назвать, в какое из двух или трёх множеств вы попали.

---

Аккорды из симметричных звукорядов

Одно из самых полезных свойств — содержащиеся в них типы аккордов.

Увеличенные трезвучия из целотонового звукоряда

Каждое увеличенное трезвучие берёт три ноты, равномерно разделённые 4 полутонами. Поскольку целотоновый звукоряд содержит только чётные классы, а 4 чётно, три ноты увеличенного трезвучия всегда попадают в одно целотоновое множество.

Увеличенное трезвучие из целотонового множества 1. Три из шести классов C=0, E=4, G♯=8 равномерно разделены 4 полутонами.

C — E — G♯: классы 0, 4, 8, все в множестве 1 {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Целотоновый звукоряд содержит ровно два различных увеличенных трезвучия: C–E–G♯ и D–F♯–B♭; вместе они охватывают все шесть классов множества 1.

Уменьшённые септаккорды из октатонического звукоряда

Каждый уменьшённый септаккорд берёт четыре ноты с равными интервалами 3 полутона. Период октатонического звукоряда 3; симметрия T₃ означает, что четыре ноты уменьшённого септаккорда инвариантны относительно T₃: при транспозиции на 3 полутона аккорд отображается на себя.

Уменьшённый септаккорд из октатонического множества A. Четыре класса (0, 3, 6, 9) равномерно разделены 3 полутонами. T₃ отображает аккорд на себя.

C — E♭ — F♯ — A: классы 0, 3, 6, 9, все в A {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10}. Существуют три различных уменьшённых септаккорда, по одному на октатоническое множество; вместе они охватывают все 12 классов без пересечения. Поэтому уменьшённый септаккорд был столь универсальным связующим аккордом в гармонии конца XIX века.

---

Проверка принадлежности: входит ли нота?

Зная множество пассажа, можно проверить любого кандидата. Алгоритм прост.

1. Определите множество. Если известны начало и тип звукоряда, найдите множество в таблицах выше или выведите по формуле шагов.
2. Найдите класс проверяемой ноты. Класс = номер MIDI по модулю 12 (C4 = 60, значит pc 60 mod 12 = 0 = C). Или просто считайте полутоны от C.
3. Проверьте принадлежность. Есть ли класс в множестве? Если да, нота входит, иначе — нет.

Полный перечень: два целотоновых множества (голубые) и три октатонических (коралловые). Каждый класс встречается один раз в перечне каждого типа.

Пример: входит ли A♭ в целотоновый звукоряд от C? A♭ = pc 8. Множество 1 — {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Есть ли 8 ∈ {0, 2, 4, 6, 8, 10}? Да, A♭ входит, энгармонически это G♯. Входит ли D♭? D♭ = pc 1. Есть ли 1 ∈ {0, 2, 4, 6, 8, 10}? Нет, D♭ не входит в 1.

Материал «Принадлежит ли новая нота?» превращает проверку в четыре типа вопросов: заполнить пропущенный элемент, проверить кандидата да/нет, сравнить транспозиции и сочинить короткую мелодию в октатоническом наборе.

---

Запись множеств классов: краткое введение

Целочисленная запись — стандартный инструмент точного описания. Соглашения происходят из посттональной теории, формализованной в книге Allen Forte The Structure of Atonal Music (Yale UP, 1973) и Joseph Straus Introduction to Post-Tonal Theory (4-е изд., W. W. Norton, 2016):

• Класс 0 = C и любая октава C: C2, C4, C7, ...
• Класс 1 = C♯/D♭
• Класс 2 = D
• ... и так далее до класса 11 = B

Транспозиция T_n сдвигает каждый класс вверх на n полутонов с возвратом при 12. T₂ от {0, 2, 4, 6, 8, 10} даёт {2, 4, 6, 8, 10, 0}, то же множество в ином порядке. T₁ даёт {1, 3, 5, 7, 9, 11}, другое множество.

Для классов множеств в этой теории используются метки 6-35 (целотоновый гексахорд в нумерации Форте) и 8-28 (октатонический октахорд). Это справочные идентификаторы, не исполнительские указания, но они позволяют искать аналитическую литературу.

---

Применение на практике

Два учебных листа ведут от понятия к уверенной работе карандашом на бумаге.

«Повторяйте шаги, найдите цикл» (лист 482) показывает алгоритм цикла для обоих типов и просит вычислить полный список от любой высоты. Аудиопримеры дают услышать характер каждого: целотоновая мелодия дрейфует без притяжения, октатоническая имеет более резкие интервальные контрасты из-за чередующихся полутонов.

Авторская мелодическая идея из целотонового множества 1. Класс каждой ноты проверен на принадлежность {0,2,4,6,8,10}.

«Принадлежит ли новая нота?» (упражнение 186) содержит четыре раздела:

• Раздел A — заполните пропущенный элемент строки заданного звукоряда.
• Раздел B — да/нет: входит ли проверяемая нота в названный звукоряд?
• Раздел C — проверки транспозиции: сохраняет или меняет множество T₂ либо T₁?
• Раздел D — сочините короткую линию только из октатонического банка C/D♭/E♭/E/F♯/G/A/B♭.

Оба листа включают слушание аудиопримеров полных звукорядов, чтобы связать теоретическое множество со звучанием до письменных заданий.

---

Итог

Целотоновый и октатонический звукоряды симметричны в строгом математическом смысле: каждый инвариантен при регулярной транспозиции. Одно свойство — период — определяет число различных множеств, содержащиеся аккорды и звучание построенной музыки.

Целотоновый звукоряд:

• Шаги: 2-2-2-2-2-2 (шесть целых тонов)
• Ноты от C: C D E F♯ G♯ B♭
• Классы: {0, 2, 4, 6, 8, 10}
• Только 2 различных множества (период T₂)
• Характерный аккорд: увеличенное трезвучие

Октатонический звукоряд полутон–тон:

• Шаги: 1-2-1-2-1-2-1-2 (чередование)
• Ноты от C: C D♭ E♭ E F♯ G A B♭
• Классы: {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10}
• Только 3 различных множества (период T₃)
• Характерный аккорд: уменьшённый септаккорд

Уметь строить любой звукоряд с нуля — выбрать начало, применить цикл шагов, остановиться при возврате — основной навык. Затем проверки принадлежности, сравнение транспозиций и распознавание аккордов следуют из той же арифметики. Листы дают повторения, чтобы сделать её автоматической.

---

Источники

• Forte, Allen. The Structure of Atonal Music. Yale University Press, 1973.
• Gotham, Mark, et al. Open Music Theory, версия 2. VIVA/Open Textbook Library, 2023.
• Straus, Joseph. Introduction to Post-Tonal Theory, 4-е изд. W. W. Norton, 2016.
• Tymoczko, Dmitri. A Geometry of Music. Oxford University Press, 2011.