Обертоновый ряд и почему инструменты звучат по-разному

Нажмите низкое до на фортепиано и удерживайте его. Эта единственная нота — не одна частота: это целый стек, звучащий одновременно, каждый элемент на разной высоте и громкости. Самый низкий из них — то, что ухо воспринимает как высоту ноты. Остальные — называемые обертонами, или гармониками — тише, но всегда присутствуют, и именно их смешение делает фортепиано звучащим как фортепиано, а флейту — как флейту.

Эта статья объясняет, что такое обертоновый ряд, откуда берутся наиболее консонирующие интервалы в музыке, что означает тембр в физическом смысле и как знание ряда меняет способ слушать и исполнять. В каждом разделе есть ссылки на бесплатные рабочие листы Tissimo, позволяющие углубиться в тему.

Что в действительности производит вибрация

Когда струна вибрирует, она не движется как один жёсткий стержень. Она изгибается, и благодаря физике натянутой струны изгибается сразу в нескольких режимах. Простейший режим — вся струна раскачивается туда-обратно как единая дуга — производит основную частоту, которую музыканты называют основным тоном или первой гармоникой. Но одновременно вибрируют и меньшие части струны: две половины — с удвоенной скоростью, три трети — с утроенной, и так далее. Каждое деление добавляет ещё одну частоту к звуку.

Тот же принцип применим к воздушным столбам в духовых инструментах. Медная трубка или корпус флейты поддерживает стоячие волны на целочисленных кратных своей основной частоты. Человеческий голос использует пару вибрирующих голосовых складок плюс резонирующую полость горла и ротовой полости. В каждом случае физика производит стек частот, кратных основному тону: f, 2f, 3f, 4f, 5f и так далее — все одновременно.

Слова «обертон» и «гармоника» используются почти взаимозаменяемо, с одним техническим различием: «гармоника 1» — это сам основной тон, тогда как «обертон 1» — первая частота выше основного тона (гармоника 2). Большинство музыкантов свободно используют «обертон» для обозначения любой составляющей выше основного тона, именно в этом смысле термин используется здесь. «Частичный тон» — наиболее общее понятие: оно обозначает любую синусоидальную составляющую сложного звука, независимо от того, точно ли она приходится на целочисленный кратный.

Рабочий лист Волновые формы синтезатора и их гармоники определяет это непосредственно: гармоника — это составляющая звука, частота которой является целым числом, кратным основной частоте.

Обертоновый ряд как ноты

Если основной тон — до2 (около 65,4 Гц), гармоники приходятся на следующие ноты:

Гармоники 1–10 над основным тоном до2 (65,4 Гц). H1–H8 достаточно хорошо соответствуют распознаваемым ступеням равномерной темперации, кроме H7, которая примерно на 31 цент ниже равнотемперированного си♭4 — заметно низко в контексте. Выше H8 отклонения возрастают: ре5 и ми5 — лишь приближения.

Этот список стоит читать внимательно, поскольку он кодирует историю западной гармонии. Первые две гармоники (H1 и H2) — обе до, на расстоянии октавы. H3 — соль, чистая квинта выше до3. H4 снова до, на две октавы выше основного тона. H5 — ми, большая терция. H6 снова соль. Трезвучие до мажор (до–ми–соль) появляется в первых шести гармониках. Это не условность и не правило: оно прямо вытекает из физики вибрации.

Гармоники 1–6 от до2, показанные по отдельности, затем H4, H5 и H6 в виде аккорда: трезвучие до мажор. Эти три гармоники звучат одновременно в каждом до2 — мажорный аккорд заложен в физике звука.

Следует учесть две важные оговорки. Во-первых, обертоновый ряд не равен равномерной темперации. H3 (соль3) примерно на 2 цента выше равнотемперированного соль3; H5 (ми4) примерно на 14 центов ниже равнотемперированного ми4; H7 (си♭4) примерно на 31 цент ниже равнотемперированного си♭4. Фортепиано и другие инструменты с фиксированной высотой настроены на равномерную темперацию, которая равномерно распределяет небольшие отклонения, чтобы все 12 тональностей звучали одинаково чисто. Естественный обертоновый ряд предшествует равномерной темперации и не соответствует ей.

Во-вторых, ряд продолжается бесконечно: H9 ≈ ре5, H10 ≈ ми5, H11 ≈ примерно фа♯5 (очень низко), H12 = соль5 и так далее. Высокие гармоники приближают равнотемперированные ноты со всё большей неточностью.

Рабочий лист MIDI-ноты, октавы и частота показывает точно, как соотносятся частоты и высоты: одна октава всегда удваивает частоту, а формула f(n) = 440 × 2^((n−69)/12) переводит номера нот MIDI в Гц.

Откуда берётся консонанс

Частотная лесенка делает обертоновый ряд наглядным:

Частотная лесенка гармоник на до2. Каждая гармоника n имеет частоту n × 65,4 Гц. H7 (коралловый) заметно ниже равномерной темперации; все остальные близки к распознаваемым равнотемперированным ступеням.

Теперь взглянем на соотношения между соседними гармониками. H1 к H2 — 65,4 к 130,8, соотношение ровно 2:1. H2 к H3 — 130,8 к 196,2, ровно 3:2. H3 к H4 — 4:3. H4 к H5 — 5:4. Эти точные соотношения соответствуют наиболее консонирующим интервалам западной музыки:

Четыре простейших консонирующих интервала, каждый выведен из соседних гармоник. Соотношения точны в акустическом ряду; равномерная темперация их приближает.

Связь между простотой соотношения и консонансом не произвольна. Когда два звука с простым соотношением звучат вместе, они регулярно и предсказуемо совпадают по фазе. Соотношение 2:1 означает, что верхний звук завершает два цикла на каждый цикл нижнего — они совпадают при каждом цикле нижнего. Соотношение 3:2 совпадает каждые два цикла нижнего. Чем сложнее соотношение (например, 17:13), тем дольше до совпадения, и тем больше два звука мешают друг другу — ухо воспринимает это как шероховатость.

Октава (2:1) — наиболее консонирующий интервал во всех изученных музыкальных культурах. Чистая квинта (3:2) и чистая кварта (4:3) следуют за ней.

В таблице ниже приведены точные значения чистой (натуральной) настройки рядом с равнотемперированными эквивалентами:

Точные частотные соотношения и их значения в чистой (натуральной) настройке в центах. Значения равномерной темперации: октава = 1200 центов, чистая квинта = 700 центов (на 2 цента ниже чистого соотношения 702), чистая кварта = 500 центов (на 2 цента выше чистого 498), большая терция = 400 центов (на 14 центов выше чистого 386). Ухо может слышать разницу в интервалах с медленными биениями.

Вы можете услышать биения настройки, описанные в таблице. Рабочий лист Услышать пульс между двумя тонами тренирует именно этот навык: два звука близкой высоты производят медленную пульсацию («биения»), скорость которой равна разнице их частот. Идеально чистая квинта имеет нулевые биения; равнотемперированная квинта в среднем регистре даёт около одного биения в секунду.

Тембр: гармоническая рецептура

Каждый инструмент и каждый голос производит обертоновый ряд над основным тоном, но относительная громкость каждой гармоники — гармоническая рецептура — различается в зависимости от инструмента, ноты и даже от способа игры. Эта рецептура — то, что музыканты и акустические учёные называют тембром.

Четыре инструмента, то же до4 — четыре разных гармонических рецептуры. Точки схематически показывают относительную силу H1–H6: закрашенная = сильная, открытая = слабая или отсутствует.

Рабочий лист Волновые формы синтезатора и их гармоники иллюстрирует это четырьмя архетипическими формами волн, каждая с разной рецептурой:

Четыре идеальных формы волны. Реальные спектры инструментов приближаются к ним; смычковая скрипка напоминает пилу (все гармоники), нижний регистр кларнета — меандр (нечётные гармоники).

Обратите внимание, что пила и меандр имеют общие нечётные гармоники, но пила добавляет чётные (H2, H4, H6…). Одно это различие в рецептуре — добавление чётных гармоник — это именно то, что делает пилу ярче и «открытее» меандра. Треугольная волна использует те же нечётные гармоники, что и меандр, но их амплитуды убывают как 1/n² вместо 1/n, поэтому высокие гармоники намного тише, что создаёт более мягкий и округлый звук.

Четыре гармонических рецептуры в деталях. Рабочий лист «Волновые формы синтезатора и их гармоники» показывает примеры звучания каждой.

Почти синусоидальное качество флейты — мало гармоник, основной тон доминирует — придаёт ей теплоту и ясность в среднем регистре. Сильные нечётные гармоники кларнета обусловлены акустическим свойством его цилиндрического канала: он закрыт с одного конца (тростником), что подавляет чётные гармоники и усиливает нечётные — поведение, аналогичное математически идеальному меандру. Скрипка и труба, напротив, производят густой богатый спектр всех гармоник, именно поэтому оба инструмента слышны сквозь весь оркестр.

Тембр меняется даже на одной ноте. Смычком по струне скрипки вблизи подставки — высокие гармоники становятся намного сильнее, придавая стеклянное, пронзительное качество (sul ponticello). Ближе к грифу — высокие гармоники смягчаются, звук становится слаще и округлее (sul tasto). Та же струна, та же высота — два совершенно разных тембра, потому что положение смычка сдвигает гармоническую рецептуру.

Схематические спектры частичных тонов трёх инструментов на том же до4. Почти синусоидальный спектр флейты (H1 доминирует) резко отличается от густого спектра скрипки (все гармоники присутствуют). Это приближения; реальные спектры варьируются в зависимости от высоты, техники игры и акустики помещения.

Огибающая: второе измерение тембра

Содержание гармоник — не вся история. Способ изменения громкости ноты во времени — называемый огибающей — вносит столь же большой вклад в звучание инструмента. Удалите переходный процесс атаки из записи фортепианной ноты и воспроизведите только длительную часть: большинство слушателей не смогут определить инструмент. Удар молоточка — это большая часть «фортепианности».

Огибающие описываются четырьмя фазами:

Огибающая ADSR. Атака фортепиано очень быстрая, затухание умеренное, а сустейн постепенно уходит даже при удержании клавиши. Атака органа мгновенная, практически без затухания, с плоским сустейном на полном уровне вплоть до отпускания клавиши.

Смычковая струна имеет медленную атаку — слышно, как смычок скользит, прежде чем полный тон установится. Удар по клавише фортепиано даёт почти мгновенную атаку. Щипок гитарной струны — быстрая атака и долгое медленное отпускание. Эти формы огибающих столь же характерны, что и содержание гармоник, и вместе они объясняют, почему можно определить инструмент в первую долю секунды ноты — до того как прозвучит достаточно длительного тона для полной регистрации гармонической рецептуры.

Огибающая также объясняет, почему электронный орган и цифровое пианино, хотя их можно запрограммировать на одинаковую гармоническую рецептуру, всё равно звучат по-разному: у органа практически нет атаки и затухания, тогда как цифровое пианино имитирует резкий переходный процесс и постепенное угасание фортепиано. Выставьте оба инструмента с идентичными спектрами в установившемся режиме — они по-прежнему будут мгновенно различимы с момента начала ноты. Создатели инструментов тратят огромные усилия на переходные процессы атаки именно по этой причине.

Гармоники на практике

Ряд определяет то, что исполнители на каждом инструменте делают в реальности:

Четыре музыкальных контекста, где обертоновый ряд меняет то, как вы слушаете и играете.

Флажолеты на струнных

На смычковом инструменте можно изолировать любую гармонику, легко касаясь струны в узловой точке — месте, где эта гармоника не имеет движения, — вместо того чтобы прижимать её. Ровно на половине длины струны ре скрипки создаётся узел для гармоник 2, 4, 6, 8…, тогда как гармоники с пучностью в этой точке (3, 5, 7…) подавляются. Струна звучит ре5, на октаву выше открытого ре4.

Флажолет на струне ре. Открытое ре4 при полной длине; лёгкое касание на середине делит струну на два равных сегмента, каждый вибрирующий вдвое быстрее — струна звучит ре5. Рабочий лист Открытая струна, точка касания, звук показывает ту же концепцию для струн ре и ля.

Та же техника применяется к струне ля:

Флажолет на середине струны ля. Открытое ля4 при полной длине; касание середины делит струну на две части — струна звучит ля5.

Рабочий лист Касание середины: октавный флажолет содержит карту флажолетов в средней точке каждой струны скрипки для практики.

Медные духовые и натуральный ряд

До изобретения клапанов в начале XIX века трубачи и валторнисты имели доступ лишь к гармоникам труб своих инструментов. Натуральный обертоновый ряд на си♭-горне выглядит так:

Гармоники 2–6 основного тона си♭2 горна. H2=си♭3, H3=фа4, H4=си♭4, H5=ре5, H6=фа5. Эти пять нот образуют трезвучие си♭ мажор, именно поэтому горновые сигналы и фанфары звучат торжествующе — они построены прямо из обертонового ряда.

Современные медные музыканты по-прежнему работают с этим рядом. Переход от одной ноты к следующей без клапанов требует изменения напряжения губ, чтобы «попасть» в нужную гармонику. Слишком большое напряжение — прыжок к следующей гармонике выше; слишком малое — падение к следующей ниже. Продвинутая техника использует это напрямую: заглушённые ноты (валторнисты вставляют руку в раструб) сдвигают длину трубки достаточно, чтобы ввести в диапазон ноту вне ряда.

Вокальные форманты

Человеческий голос — это генератор обертонового ряда с необычайно гибким фильтром. Голосовые складки производят жужжащий, похожий на тростник тон, богатый гармониками. Форма рта, горла и носовой полости затем усиливает определённые частотные полосы — называемые формантами — ослабляя другие. Разные гласные звуки соответствуют разным положениям формант: пение «а» и «и» на одной высоте основного тона в действительности подчёркивает разные гармоники этого основного тона. Горловые певцы Центральной Азии доводят это до предела, столь точно формируя голосовой тракт, что отдельные гармоники усиливаются как слышимые отдельные тоны, звучащие над основным бурдоном.

Для певца понимание формант — практическое знание: сопрано, поющее высокое соль5 вблизи верхней части нотного стана, может нуждаться в коррекции гласной для поддержания резонанса голоса, поскольку естественная позиция форманты некоторых гласных ниже частоты ноты и фактически препятствует проекции. Оперные певцы годами учатся выравнивать форманты с гармониками, которые им нужно проецировать. Это обертоновый ряд в действии в человеческом голосе каждый раз, когда формируется музыкальная фраза.

Ряд и равномерная темперация

Естественный обертоновый ряд находится вне любой системы настройки. Когда мастера и теоретики остановились на двенадцатиступенной равномерной темперации (12-TET) как стандарте для западной музыки, они договорились настраивать каждый полутон ровно в 2^(1/12) раз выше предыдущего — соотношение около 1,0595. Это делает все 12 мажорных тональностей в равной мере (незначительно) не соответствующими чистому ряду, а не часть из них идеально созвучными и часть ужасно расстроенными.

Чистая квинта в 12-TET составляет 700 центов, что на 2 цента ниже чистого соотношения 3:2 (702 цента). Большая терция в 12-TET составляет 400 центов, что на 14 центов выше чистого соотношения 5:4 (386 центов). Эти различия невелики, но слышимы, особенно на органе и в хоре, где отдельные голоса или трубы могут настраиваться на чистые соотношения. Хорошо настроенный барбершоп-квартет, например, понижает большие терции относительно равномерной темперации, чтобы уменьшить биения и добиться характерного «заблокированного» звучания.

Равномерная темперация — это компромисс: она делает каждый интервал слегка нечистым, чтобы каждая тональность была пригодной. Обертоновый ряд — это чистый акустический стандарт, который равномерная темперация приближает.

Понимание этого проясняет две вещи. Во-первых, когда аккорд барбершопа или хоровое трезвучие как будто «зазвенело» и раскрылось, эти певцы нашли чистые соотношения и устранили биения. Во-вторых, лёгкая шероховатость полностью равнотемперированной большой терции — не дефект, а намеренный компромисс, позволяющий модулировать через все 12 тональностей на инструменте с фиксированной высотой.

Равномерная темперация против чистой (натуральной) интонации на гамме до мажор. Большая терция (ми, +14¢) и большая секста (ля, +16¢) имеют наибольшие отклонения. Чистая квинта (соль, −2¢) наиболее точна. Эти цифры объясняют, почему хор или струнный ансамбль может настраиваться «чище», чем фортепиано.

Упражнение на слух, которое можно сделать прямо сейчас

Вот способ услышать обертоны на любом фортепиано. Нажмите и удерживайте клавишу до4 (среднее до) беззвучно, не извлекая звук. Удерживая её, сыграйте до2 двумя октавами ниже — коротко и громко — и немедленно отпустите нижнюю клавишу, продолжая удерживать беззвучную. Вы должны услышать, как до4 слабо зазвучит: его демпфер поднят, и гармоники до2 вызвали резонанс его струн. Попробуйте с соль3, удерживаемым беззвучно, пока ударяете до2 — струна соль3 улавливает третью гармонику. Это обертоновый ряд в действии, внутри фортепиано, у вашей клавиатуры.

Эксперимент с резонирующими струнами. В такте 1 до4 — это H4 от до2: когда до2 вибрирует, его четвёртая гармоника возбуждает струну до4. В такте 2 соль3 — это H3 от до2: третья гармоника возбуждает соль3. Нажимайте удерживаемую клавишу медленно и беззвучно, чтобы случайно не извлечь звук.

Рабочие листы Интервалы: квинта и Интервалы: кварта — хорошее дополнение к этому упражнению: они тренируют ухо распознавать чистую квинту и кварту — интервалы, построенные на простейших гармонических соотношениях.

Обертоновый ряд с первого взгляда. Основной тон даёт высоту; обертоны — характер (тембр). Оба звучат одновременно каждый раз, когда инструмент издаёт звук.

Бесплатные рабочие листы к этому уроку

• Волновые формы синтезатора и их гармоники — четыре архетипические формы волн, их гармонические рецептуры и слуховые сравнения.
• MIDI-ноты, октавы и частота — как соотносятся частоты и номера MIDI-нот; формула для перевода.
• Услышать пульс между двумя тонами — тренировка слуха для восприятия биений между двумя слегка расстроенными тонами.
• Открытая струна, точка касания, звук — октавные флажолеты скрипки: предсказать и проверить флажолет при лёгком касании середины.
• Касание середины: октавный флажолет — карта позиций флажолетов на всех четырёх струнах скрипки.
• Интервалы: квинта — распознавать и записывать чистые квинты в скрипичном и басовом ключах.
• Интервалы: кварта — распознавать и записывать чистые кварты; понять, почему кварта звучит иначе, чем квинта.

Если вы хотите работать над слухом для интервалов, обертонов и строя с педагогом, индивидуальный урок в реальном времени на Tissimo даст вам человека, который может сыграть интервалы, которые вам сложно слышать, подстраиваться в реальном времени и показать, какие из ваших интервалов нужно расширить или сузить.

Источники

• Synth Waveforms and Their Harmonics — Tissimo — определения гармоники, тембра и волновых рецептур, используемых в этой статье.
• MIDI Notes, Octaves and Frequency — Tissimo — частотная формула f(n) = 440 × 2^((n−69)/12) и до2 = 65,4 Гц.
• The Science of Musical Sound — John R. Pierce, Scientific American Books, 1983 — фундаментальное рассмотрение обертонового ряда, тембра и консонанса.
• Fundamentals of Musical Acoustics — Arthur H. Benade, Dover, 1990 — основное физическое изложение духовых и струнных инструментов, формы канала и отбора гармоник.
• Open Music Theory, Version 2 — Megan Lavengood et al., 2023 — соотношения интервалов, равномерная темперация и акустические основы консонанса.
• On the Sensations of Tone — Hermann von Helmholtz, 1863 (trans. Ellis, 1875) — оригинальная акустическая трактовка обертонов и консонанса, всё ещё цитируемая современными авторами.
• Hear the Pulse Between Two Tones — Tissimo — упражнение на слух для биений настройки; поддерживает обсуждение равномерной темперации.