Die Obertonreihe und warum Instrumente unterschiedlich klingen

Spiel das tiefe C auf dem Klavier und halte es. Diese einzelne Note ist keine einzige Frequenz: Es ist ein ganzer Stapel, der gleichzeitig klingt — jede Teile auf einer anderen Tonhöhe und Lautstärke. Die tiefste ist die Tonhöhe, die dein Ohr als die Note wahrnimmt. Die anderen — Obertöne oder Teiltöne genannt — sind leiser, aber immer vorhanden, und ihre Mischung ist genau das, was ein Klavier wie ein Klavier klingen lässt und eine Flöte wie eine Flöte.

Dieser Artikel erklärt, was die Obertonreihe ist, woher die konsonantesten Intervalle der Musik stammen, was Klangfarbe in physikalischen Begriffen bedeutet, und wie das Wissen um die Reihe das Hören und Spielen verändert. Jeder Abschnitt enthält Links zu kostenlosen Tissimo-Arbeitsblättern, die tiefer gehen.

Was Schwingung tatsächlich erzeugt

Wenn eine Saite schwingt, bewegt sie sich nicht wie ein starrer Stab. Sie biegt sich, und aufgrund der Physik einer gespannten Saite biegt sie sich gleichzeitig in mehreren Mustern. Das einfachste Muster — die gesamte Saite schwingt wie ein einziger Bogen hin und her — erzeugt die Grundfrequenz, die Musiker die Grundschwingung oder den ersten Teilton nennen. Aber kleinere Unterteilungen der Saite schwingen gleichzeitig: Die zwei Hälften schwingen doppelt so schnell, die drei Drittel dreimal so schnell, und so weiter. Jede Unterteilung fügt dem Klang eine weitere Frequenz hinzu.

Das gleiche Prinzip gilt für Luftsäulen in Blasinstrumenten. Ein Blechbläserrohr oder ein Flötenkörper unterstützt stehende Wellen bei ganzzahligen Vielfachen seiner Grundfrequenz. Die menschliche Stimme verwendet ein schwingendes Stimmfaltenpaar plus eine resonante Rachen- und Mundhöhle. In jedem Fall erzeugt die Physik einen Stapel von Frequenzen als ganzzahlige Vielfache: f, 2f, 3f, 4f, 5f und so weiter, alle gleichzeitig.

Die Begriffe „Oberton" und „Harmonischer" werden in der Praxis fast synonym verwendet, mit einem technischen Unterschied: „Harmonischer 1" ist die Grundschwingung selbst, während „Oberton 1" die erste Frequenz über der Grundschwingung ist (Harmonischer 2). Die meisten Musiker verwenden „Oberton" frei für jeden Teilton oberhalb der Grundschwingung, und das ist der hier verwendete Sinn. Der Begriff „Teilton" ist der allgemeinste: Er benennt jeden sinusförmigen Bestandteil eines komplexen Tons, unabhängig davon, ob er auf einem genauen ganzzahligen Vielfachen liegt.

Das Arbeitsblatt Synth-Wellenformen und ihre Obertöne definiert dies direkt: Ein Harmonischer ist ein Bestandteil eines Klangs, dessen Frequenz ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz ist.

Die Obertonreihe als Töne

Wenn die Grundschwingung C2 ist (etwa 65,4 Hz), fallen die Obertöne auf folgende Töne:

Obertöne 1–10 über einer C2-Grundschwingung (65,4 Hz). H1–H8 entsprechen recht gut erkennbaren gleichstufig temperierten Tönen, außer H7, das etwa 31 Cent unterhalb des gleichstufigen B4 liegt — in Kontext merklich zu tief. Oberhalb von H8 wachsen die Abweichungen: D5 und E5 sind nur Annäherungen.

Die Liste lohnt sich sorgfältig zu lesen, denn sie enthält die Geschichte der westlichen Harmonielehre. Die ersten beiden Obertöne (H1 und H2) sind beide C, eine Oktave auseinander. H3 ist G — die reine Quinte über C3. H4 ist wieder C, zwei Oktaven über der Grundschwingung. H5 ist E — die große Terz. H6 ist wieder G. Der C-Dur-Dreiklang C–E–G erscheint in den ersten sechs Obertönen. Das ist keine Konvention und keine Regel: Er ergibt sich direkt aus der Physik der Schwingung.

Obertöne 1–6 von C2 einzeln gezeigt, dann H4, H5 und H6 als Akkord gestapelt: ein C-Dur-Dreiklang. Diese drei Obertöne schwingen gleichzeitig in jedem C2 — der Durakkord ist in der Physik des Tons eingebettet.

Zwei wichtige Einschränkungen sind zu beachten. Erstens entspricht die Obertonreihe nicht der gleichstufigen Stimmung. H3 (G3) liegt etwa 2 Cent über dem gleichstufigen G3; H5 (E4) liegt etwa 14 Cent unter dem gleichstufigen E4; und H7 (B4) liegt etwa 31 Cent unter dem gleichstufigen B4. Das Klavier und andere Instrumente mit fester Tonhöhe sind auf gleichstufige Stimmung gestimmt, die diese kleinen Fehler gleichmäßig verteilt, damit alle 12 Tonarten gleich gut klingen. Die natürliche Obertonreihe geht der gleichstufigen Stimmung voraus und entspricht ihr nicht.

Zweitens geht die Reihe unendlich weiter: H9 ≈ D5, H10 ≈ E5, H11 ≈ ungefähr Fis5 (sehr tief), H12 = G5 und so weiter. Höhere Obertöne nähern sich gleichstufig temperierten Tönen mit zunehmender Ungenauigkeit an.

Das Arbeitsblatt MIDI-Noten, Oktaven und Frequenz zeigt genau, wie Frequenzen und Tonhöhen zusammenhängen: Eine Oktave verdoppelt immer die Frequenz, und die Formel f(n) = 440 × 2^((n−69)/12) konvertiert MIDI-Notennummern in Hz.

Woher Konsonanz stammt

Die Frequenzleiter macht die Obertonreihe konkret:

Die harmonische Frequenzleiter auf C2. Jeder Oberton n hat die Frequenz n × 65,4 Hz. H7 (Korallrot) liegt deutlich unter der gleichstufigen Stimmung; alle anderen liegen nahe an erkennbaren gleichstufigen Tönen.

Betrachte nun die Verhältnisse zwischen benachbarten Obertönen. H1 zu H2 ist 65,4 zu 130,8 — ein Verhältnis von exakt 2:1. H2 zu H3 ist 130,8 zu 196,2 — exakt 3:2. H3 zu H4 ist 4:3. H4 zu H5 ist 5:4. Diese exakten Verhältnisse entsprechen den konsonantesten Intervallen der westlichen Musik:

Die vier einfachsten konsonanten Intervalle, jeweils aus benachbarten Obertönen abgeleitet. Die Verhältnisse sind in der akustischen Reihe exakt; die gleichstufige Stimmung nähert sie an.

Der Zusammenhang zwischen Verhältniseinfachheit und Konsonanz ist nicht willkürlich. Wenn zwei Frequenzen mit einem einfachen Verhältnis zusammen klingen, richten sie sich regelmäßig und vorhersehbar in Phase aus. Ein Verhältnis 2:1 bedeutet, dass der obere Ton für jeden Zyklus des unteren zwei Zyklen abschließt — sie richten sich bei jedem Zyklus des unteren Tons neu aus. Ein Verhältnis 3:2 richtet sich bei jedem zweiten Zyklus des unteren Tons neu aus. Je komplexer das Verhältnis (z. B. 17:13), desto länger bis zur Neuausrichtung, und desto mehr interferieren die beiden Töne miteinander — was das Ohr als Rauheit wahrnimmt.

Die Oktave (2:1) ist das konsonanteste Intervall in jeder untersuchten Musikkultur. Die reine Quinte (3:2) und die reine Quarte (4:3) folgen dicht dahinter.

Die folgende Tabelle zeigt die exakten reinen (naturrein gestimmten) Werte neben den gleichstufig temperierten Entsprechungen:

Exakte Frequenzverhältnisse und ihre reinen (naturreinen) Stimmungswerte in Cent. Gleichstufige Werte: Oktave = 1200 Cent, reine Quinte = 700 Cent (2 Cent tiefer als das reine Verhältnis 702), reine Quarte = 500 Cent (2 Cent höher als das reine Verhältnis 498), große Terz = 400 Cent (14 Cent höher als das reine Verhältnis 386). Das Ohr kann den Unterschied bei langsam schwebenden Intervallen hören.

Du kannst die in der Tabelle beschriebenen Stimmungsschwebungen hören. Das Arbeitsblatt Den Puls zwischen zwei Tönen hören trainiert genau diese Fähigkeit: Zwei Töne, die nahe beieinander liegen, erzeugen ein langsames Pochen (eine „Schwebung"), deren Geschwindigkeit der Differenz ihrer Frequenzen entspricht. Eine rein gestimmte Quinte hat null Schwebungen; eine gleichstufige Quinte schlägt im mittleren Register etwa einmal pro Sekunde.

Klangfarbe: das Oberton-Rezept

Jedes Instrument und jede Stimme erzeugt die Obertonreihe über ihrer Grundschwingung, aber die relative Lautstärke jedes Obertons — das Oberton-Rezept — unterscheidet sich je nach Instrument, Note und sogar je nach Spielweise. Dieses Rezept ist das, was Musiker und Akustiker Klangfarbe nennen.

Vier Instrumente, dasselbe C4 — vier verschiedene Oberton-Rezepte. Die Punkte zeigen schematisch die relative Stärke von H1 bis H6: gefüllt = stark, offen = schwach oder abwesend.

Das Arbeitsblatt Synth-Wellenformen und ihre Obertöne veranschaulicht dies mit vier archetypischen Wellenformen, jeweils mit einem anderen Rezept:

Die vier idealen Wellenformtypen. Echte Instrumentenspektren nähern sich diesen an; eine gestrichene Violine ähnelt dem Sägezahn (alle Obertöne), das tiefe Register einer Klarinette ähnelt der Rechteckwelle (ungerade Obertöne).

Beachte, dass der Sägezahn und die Rechteckwelle ungerade Obertöne teilen, aber der Sägezahn fügt die geraden hinzu (H2, H4, H6…). Genau dieser einzige Unterschied im Rezept — das Hinzufügen der geraden Obertöne — ist es, was einen Sägezahn heller und „offener" klingen lässt als eine Rechteckwelle. Die Dreieckswelle verwendet dieselben ungeraden Obertöne wie die Rechteckwelle, aber ihre Amplituden fallen als 1/n² statt 1/n ab, sodass die höheren Obertöne viel leiser sind und einen weicheren, runderen Klang erzeugen.

Die vier Oberton-Rezepte im Detail. Das Arbeitsblatt Synth-Wellenformen und ihre Obertöne zeigt Audiobeispiele für jedes.

Die nahezu sinusförmige Qualität der Flöte — wenige Obertöne, von der Grundschwingung dominiert — verleiht ihr im mittleren Register Wärme und Klarheit. Die starken ungeraden Obertöne der Klarinette stammen aus einer akustischen Eigenschaft ihrer zylindrischen Bohrung: Sie ist an einem Ende (dem Rohrblatt) geschlossen, was gerade Obertöne unterdrückt und ungerade verstärkt — dasselbe Verhalten wie eine mathematisch ideale Rechteckwelle. Violine und Trompete hingegen erzeugen ein dichtes, reiches Spektrum aller Obertöne, weshalb beide Instrumente ein volles Orchester durchdringen.

Die Klangfarbe ändert sich sogar bei einer einzelnen Note. Streich eine Violinsaite nahe am Steg und die hohen Obertöne werden viel stärker, was eine gläserne, durchdringende Qualität ergibt (sul ponticello). Streich näher am Griffbrett und die hohen Obertöne weichen auf, was einen süßeren, runderen Klang erzeugt (sul tasto). Dieselbe Saite, dieselbe Tonhöhe, zwei sehr verschiedene Klangfarben — weil die Bogenposition das Oberton-Rezept verschiebt.

Schematische Teiltonspektren für drei Instrumente auf demselben C4. Das nahezu sinusförmige Spektrum der Flöte (H1 dominiert) unterscheidet sich stark vom dichten Spektrum der Violine (alle Obertöne vorhanden). Dies sind Annäherungen; die tatsächlichen Spektren variieren mit Tonhöhe, Spieltechnik und Raumakustik.

Die Hüllkurve: die zweite Dimension der Klangfarbe

Oberton-Inhalt ist nicht die ganze Geschichte. Die Art, wie sich die Lautstärke einer Note über die Zeit verändert — die Hüllkurve — trägt genauso viel dazu bei, wie ein Instrument klingt. Entferne den Anfangstransienten aus einer Aufnahme einer Klaviernote und spiele nur den anhaltenden Teil: Die meisten Zuhörer können das Instrument nicht identifizieren. Der gehämmerte Anschlag ist ein großer Teil des „Klavierklangs".

Hüllkurven werden mit vier Phasen beschrieben:

Die ADSR-Hüllkurve. Der Anschlag des Klaviers ist sehr schnell, sein Decay moderat, und sein Sustain klingt allmählich ab, auch während die Taste gedrückt ist. Der Anschlag der Orgel ist sofort, mit fast keinem Decay und einem flachen Sustain auf voller Lautstärke, bis die Taste losgelassen wird.

Eine gestrichene Saite hat einen langsamen Anschlag — man kann den Bogen hören, bevor der volle Ton sich einpendelt. Eine angeschlagene Klaviertaste hat einen nahezu sofortigen Anschlag. Eine gezupfte Gitarrensaite hat einen schnellen Anschlag und ein langes, langsames Ausklingen. Diese Hüllkurvenformen sind ebenso charakteristisch wie der Oberton-Inhalt, und zusammen erklären sie, warum man ein Instrument im ersten Bruchteil einer Sekunde einer Note erkennen kann, bevor genug stationärer Ton erklingt, um sein Oberton-Rezept vollständig zu registrieren.

Die Hüllkurve erklärt auch, warum elektronische Orgel und elektronisches Klavier, obwohl sie auf dasselbe Oberton-Rezept programmiert werden können, immer noch unterschiedlich klingen: Die Orgel hat im Wesentlichen keinen Anschlag oder Decay, während das digitale Klavier den scharfen Transienten und das allmähliche Abklingen des Klaviers imitiert. Stelle beide Instrumente auf identische stationäre Spektren ein, und sie werden vom Moment des Notenbeginns an sofort unterscheidbar sein. Instrumentendesigner investieren enormen Aufwand in Anfangstransienten genau aus diesem Grund.

Obertöne in der Praxis

Die Reihe bestimmt, was Spieler jedes Instruments tatsächlich tun:

Vier musikalische Kontexte, in denen die Obertonreihe die Art, wie man hört und spielt, verändert.

Saitenharmonische

Bei einem Streichinstrument kann man jeden Oberton isolieren, indem man die Saite leicht an einem Knoten berührt — einem Punkt, an dem dieser Oberton keine Bewegung hat — anstatt sie niederzudrücken. Genau auf halber Länge der D-Saite der Violine erzwingt man einen Knoten für Obertöne 2, 4, 6, 8…, während Obertöne mit einem Bauch an dieser Stelle (3, 5, 7…) unterdrückt werden. Die Saite klingt auf D5, eine Oktave über dem offenen D4.

Der D-Saiten-Oberton. Offenes D4 bei voller Länge; ein leichtes Berühren am Mittelpunkt teilt die Saite in zwei gleiche Segmente, die jeweils doppelt so schnell schwingen — die Saite klingt auf D5. Das Arbeitsblatt Leere Saite, Berührstelle, Klang zeigt dasselbe Konzept für D- und A-Saiten.

Die gleiche Technik gilt für die A-Saite:

A-Saiten-Mittelpunkt-Oberton. Offenes A4 bei voller Saitenlänge; das Berühren des Mittelpunkts teilt die Saite in zwei — die Saite klingt auf A5.

Das Arbeitsblatt Halbierung: Der Oktav-Oberton ordnet den Mittelpunkt-Oberton jeder Violinsaite für die Übung zu.

Blechbläser und die Naturtonreihe

Bevor Anfang des 19. Jahrhunderts Ventile erfunden wurden, hatten Trompeten- und Hornspieler nur Zugang zu den Obertönen ihres Instrumentenrohrs. Die natürliche Obertonreihe auf einem B-Flügelhorn sieht so aus:

Obertöne 2–6 der B2-Grundschwingung eines Flügelhorns. H2=B3, H3=F4, H4=B4, H5=D5, H6=F5. Diese fünf Töne bilden einen B-Dur-Akkord, weshalb Signalrufe und Fanfaren triumphierend klingen — sie sind direkt aus der Obertonreihe aufgebaut.

Moderne Blechbläser navigieren die Reihe weiterhin. Um ohne Ventile von einer Note zur nächsten zu wechseln, muss die Lippenspannung verändert werden, um auf dem richtigen Oberton zu „landen". Zu viel Spannung springt zum nächsten Oberton darüber; zu wenig fällt zum darunter liegenden ab. Die fortgeschrittene Technik nutzt dies direkt: Gestopfte Noten (Hornisten führen die Hand in den Schalltrichter ein) verschieben die Rohrlänge genug, um einen außerhalb der Reihe liegenden Ton in Reichweite zu bringen.

Vokalformanten

Die menschliche Stimme ist ein Obertonreihen-Generator mit einem ungewöhnlich flexiblen Filter. Die Stimmfalten erzeugen einen summenden, rohrblattähnlichen Ton reich an Obertönen. Die Form von Mund, Rachen und Nasenhöhle verstärkt dann bestimmte Frequenzbänder — sogenannte Formanten — während andere gedämpft werden. Verschiedene Vokalklänge entsprechen verschiedenen Formantpositionen, was bedeutet, dass das Singen von „ah" und „i" auf derselben Grundtonhöhe tatsächlich verschiedene Obertöne dieser Grundschwingung betont. Obertönsänger aus Zentralasien nutzen dies extrem aus und formen ihren Vokaltrakt so präzise, dass einzelne Obertöne als hörbare separate Töne über dem Grundton-Bordun verstärkt werden.

Für einen Sänger ist das Verständnis von Formanten praktisches Wissen: Eine Sopranistin, die ein hohes G5 nahe der oberen Grenze des Notenlinien singt, muss möglicherweise ihren Vokal anpassen, um die Stimme resonant zu halten, da die natürliche Formantposition mancher Vokale unter der Notenfrequenz liegt und die Projektion effektiv behindert. Opernsänger verbringen Jahre damit, ihre Formanten mit den Obertönen, die sie projizieren müssen, in Einklang zu bringen. Dies ist die Obertonreihe am Werk in der menschlichen Stimme, jedes Mal, wenn eine Phrase geformt wird.

Die Reihe und die gleichstufige Stimmung

Die natürliche Obertonreihe liegt außerhalb jedes Stimmungssystems. Als Instrumentenbauer und Theoretiker die gleichstufige 12-Ton-Stimmung (12-TET) als Standard für die westliche Musik festlegten, vereinbarten sie, jeden Halbton genau auf 2^(1/12) des vorherigen zu stimmen — ein Verhältnis von ungefähr 1,0595. Damit sind alle 12 Durtonarten gleichermaßen (leicht) von der reinen Reihe abweichend, anstatt dass einige perfekt im Einklang und andere schrecklich verstimmt sind.

Die reine Quinte in 12-TET ist 700 Cent, was 2 Cent unter dem reinen 3:2-Verhältnis (702 Cent) liegt. Die große Terz in 12-TET ist 400 Cent, was 14 Cent über dem reinen 5:4-Verhältnis (386 Cent) liegt. Diese Unterschiede sind klein, aber hörbar, insbesondere bei Orgeln und Chören, wo einzelne Stimmen oder Pfeifen auf reine Verhältnisse gestimmt werden können. Ein gut gestimmtes Barbershop-Quartett beispielsweise senkt die großen Terzen gegenüber der gleichstufigen Stimmung, um die Schwebungen zu reduzieren und den charakteristischen „Lock"-Klang zu erzielen.

Die gleichstufige Stimmung ist ein Kompromiss: Sie macht jedes Intervall leicht unrein, damit jede Tonart nutzbar ist. Die Obertonreihe ist der reine akustische Standard, den die gleichstufige Stimmung annähert.

Das Verständnis davon macht zwei Dinge klar. Erstens: Wenn ein Barbershop-Akkord oder ein chorales Dreiklang zu „klingen" und aufzugehen scheint, haben die Sänger die reinen Verhältnisse gefunden und die Schwebungen eliminiert. Zweitens: Die leichte Rauheit einer vollständig gleichstufigen großen Terz ist kein Fehler — es ist ein bewusster Kompromiss, der die Modulation durch alle 12 Tonarten auf einem Instrument mit fester Tonhöhe ermöglicht.

Gleichstufige Stimmung gegenüber reiner (naturrein) Stimmung auf der C-Dur-Tonleiter. Die große Terz (E, +14¢) und die große Sexte (A, +16¢) haben die größten Abweichungen. Die reine Quinte (G, −2¢) ist die genaueste. Diese Zahlen erklären, warum ein Chor oder ein Streichensemble „reiner" als ein Klavier stimmen kann.

Eine Hörübung, die du jetzt sofort machen kannst

Hier ist eine Möglichkeit, Obertöne auf jedem Klavier zu hören. Drücke und halte die Taste für C4 (mittleres C) lautlos gedrückt, ohne sie anzuschlagen. Halte sie dabei und spiele das C2 zwei Oktaven darunter — kurz und laut — und lasse die tiefe Taste sofort los, während du die lautlose gedrückt hältst. Du solltest hören, wie C4 leise klingt: Sein Dämpfer ist angehoben, und die Obertöne des C2 haben seine Saiten sympathisch zum Schwingen gebracht. Versuche es mit G3, das lautlos gehalten wird, während C2 angeschlagen wird — die G3-Saite fängt den dritten Oberton auf. Dies ist die Obertonreihe in Aktion, im Klavier, an deiner Tastatur.

Das sympathische Saiten-Experiment. In Takt 1 ist C4 H4 von C2 — wenn C2 schwingt, regt sein vierter Oberton die C4-Saite an. In Takt 2 ist G3 H3 von C2 — der dritte Oberton regt G3 an. Drücke die gehaltene Taste langsam und lautlos, damit du sie nicht versehentlich anschlägst.

Die Arbeitsblätter Intervalle: die Quinte und Intervalle: die Quarte sind gute Begleiter zu diesem Experiment: Sie trainieren das Ohr, die reine Quinte und Quarte zu erkennen — die Intervalle, die aus den einfachsten harmonischen Verhältnissen aufgebaut sind.

Die Obertonreihe auf einen Blick. Die Grundschwingung gibt die Tonhöhe; die Obertöne geben den Charakter (Klangfarbe). Beides geschieht gleichzeitig, jedes Mal, wenn ein Instrument erklingt.

Kostenlose Arbeitsblätter für diese Lektion

• Synth-Wellenformen und ihre Obertöne — die vier archetypischen Wellenformen, ihre Oberton-Rezepte und Hörvergleiche.
• MIDI-Noten, Oktaven und Frequenz — wie Frequenzen und MIDI-Notennummern zusammenhängen; die Formel zur Konvertierung.
• Den Puls zwischen zwei Tönen hören — trainiere dein Ohr, das Schwebungsgeräusch zwischen zwei leicht verstimmten Tönen zu hören.
• Leere Saite, Berührstelle, Klang — Oktav-Obertöne der Violine: Vorhersage und Verifikation des Obertons durch leichtes Berühren am Mittelpunkt.
• Halbierung: Der Oktav-Oberton — Karte der Oberton-Positionen über alle vier Violinsaiten.
• Intervalle: die Quinte — reine Quinten im Violin- und Bassschlüssel erkennen und schreiben.
• Intervalle: die Quarte — reine Quarten erkennen und schreiben; verstehen, warum die Quarte anders klingt als die Quinte.

Wenn du dein Gehör für Intervalle, Obertöne und Stimmung mit einem Lehrer trainieren möchtest, bietet eine Live-Einzelstunde auf Tissimo jemanden, der die Intervalle spielen kann, die du schwer hörst, sich in Echtzeit anpassen kann und dir zeigt, welche deiner Intervalle verbreitert oder verengt werden müssen.

Quellen

• Synth Waveforms and Their Harmonics — Tissimo — Definitionen von Oberton, Klangfarbe und Wellenform-Rezepten, die in diesem Artikel verwendet werden.
• MIDI Notes, Octaves and Frequency — Tissimo — die Frequenzformel f(n) = 440 × 2^((n−69)/12) und C2 = 65,4 Hz.
• The Science of Musical Sound — John R. Pierce, Scientific American Books, 1983 — grundlegende Behandlung der Obertonreihe, der Klangfarbe und der Konsonanz.
• Fundamentals of Musical Acoustics — Arthur H. Benade, Dover, 1990 — die maßgebliche physikalische Darstellung von Blas- und Saiteninstrumenten, Bohrform und Oberton-Selektion.
• Open Music Theory, Version 2 — Megan Lavengood et al., 2023 — Intervalverhältnisse, gleichstufige Stimmung und die akustische Grundlage der Konsonanz.
• On the Sensations of Tone — Hermann von Helmholtz, 1863 (trans. Ellis, 1875) — die originale akustische Behandlung von Obertönen und Konsonanz, noch von modernen Autoren zitiert.
• Hear the Pulse Between Two Tones — Tissimo — Hörübung für Stimmungsschwebungen; unterstützt die Diskussion über gleichstufige Stimmung.